Hindernisse und charakteristische Klassen

Marcus Meyer

SS 2002

1 Homotopiegruppen der Stiefel-Mannigfaltigkeit

1.1 Definition. Die (reelle) Stiefel-Mannigfaltigkeit V_{n,k} ist definiert durch

V_{n,k} = {(v_{1}, …, v_{k})|v_{1}, …, v_{k} ∈ ℝ^{n}linear unabhängig}

1.2 Bemerkung. Mit dem Basiserweiterungssatz ist klar, daß V_{n,k} ≅ GL_{n}/GL_{n−k} gilt. Außerdem folgt mit der Stetigkeit des Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens, daß V_{n,k} ≃ O_{n}/O_{n−k}. Da desweiteren für k < n jede orthogonale Abbildung A ∈ O_{k} zu einer Abbildung Ã ∈ SO_{n} fortgesetzt werden kann, folgt damit sogar V_{n,k} ≃ SO_{n}/SO_{n−k} für k < n. Da es uns im folgenden nur auf die Homotopiegruppen von V_{n,k} ankommt, identifizieren wir in diesem Abschnitt V_{n,k} mit V_{n,k} ≃ SO_{n}/SO_{n−k} für k < n.

1.3 Satz. (SO_{n+k}, SO_{n}) ist (n − k − 1)-zusammenhängend.

Beweis. Betrachte Faserung SO_{n} ↪ SO_{n+1} ⟶^{p_{n}} S^{n} mit p_{n}(A) = Ae_{n}, wobei e_{0}, …, e_{n} die kanonische ONB von ℝ^{n+1} ist. Wir erhalten eine lange exakte Sequenz

… → π_{q+1}(S^{n}) ⟶^{Δ_{∗}} π_{q}(SO_{n}) ⟶^{i_{q}} π_{q}(SO_{n+1}) → …

Für q < n − 1 ist i_{q} ein Isomorphismus und für q = n − 1 ein Epimorphismus. Somit folgt also (SO_{n+1}, SO_{n}) ist (n − 1)-zusammenhängend und iterativ die Behauptung.

1.4 Korollar. V_{n,k} ist (n − k − 1)-zusammenhängend.

Beweis. Für k = n ist die Aussage leer und für k < n gilt π_{∗}(V_{n,k}) ≅ π_{∗}(SO_{n}, SO_{n−k}) und somit folgt mit obigem Satz die Behauptung.

1.5 Satz. Für gerades r ist π_{r}(V_{r+k,k}) ≅ ℤ und für ungerades r gilt

π_{r}(V_{r+k,k}) ≅ \begin{cases}ℤ & , k = 1 \\ ℤ/2 & , k > 1 \end{cases}

Beweisskizze. Betrachte die Abbildung

f : S^{n} → O_{n+1} (x, y) ↦ y − 2 ⟨x, y⟩ x

Offensichtlich ist f stetig und kann aufgefaßt werden als f : S^{n} → map(S^{n}, S^{n}). Nach dem Exponentialgesetz hat f eine Adjungierte f̃ : S^{n} × S^{n} → S^{n}. Für f̃ und für alle x, y ∈ S^{n} gilt

deg(f̃|S^{n} × y) = 1 + (−1)^{n} (⇝ gleiche Abbildung wie das Differential bei ℝP^{n})

deg(f̃|x × S^{n}) = −1

Definiere nun

f_{n} : S^{n} → SO_{n+1} x ↦ f(x)f(e_{0})

und betrachte wieder die Faserung SO_{n} ↪ SO_{n+1} ⟶^{p_{n}} S^{n}. Dann folgt aus obigen Überlegungen deg(p_{n} ∘ f_{n}) = 1 + (−1)^{n+1}. Ferner folgt

Δ_{∗}([id_{S^{n}}]) = [f_{n−1}] (⇝Definition von Δ_{∗})

und somit

(p_{n−1})_{∗}Δ_{∗}([id_{S^{n}}]) = (1 + (−1)^{n})[id_{S^{n−1}}]  (∗)

Sei nun r := n − k, dann erhalten wir Faserung

V_{r+k−1,k−1} ↪ V_{r+k,k} ⟶^{p} V_{r+k,1} ≃ S^{r+k−1}

und die lange exakte Sequenz

π_{r+1}(S^{k+r−1}) → π_{r}(V_{r+k−1,k−1}) ⟶^{i_{∗}} π_{r}(V_{r+k,k}) → π_{r}(S^{k+r−1})

Für k > 2 ist i_{∗} ein Isomorphismus, es genügt also V_{r+2,2} auszurechnen. Für k = 2 erhalten wir

π_{r+1}(S^{r+1}) → π_{r}(V_{r+1,1}) ⟶^{i_{∗}} π_{r}(V_{r+2,2}) → 0

Da wir kommutatives Diagramm

\xymatrix{SO_{r+1} \ar[r] \ar[dd]^{p} & SO_{r+2} \ar[dd]^{p} \ar[dr] \\  &  & S^{r+1} \\ V_{r+1,1} \ar[r] & V_{r+2,2} \ar[ur]}

haben, induziert dieses das kommutative Diagramm

\xymatrix{ & π_{r}(SO_{r+1}) \ar[r] \ar[dd]^{p_{∗}} & π_{r}(SO_{r+2}) \ar[dd]^{p_{∗}} \ar[dr] \\ π_{r+1}(S^{r+1}) \ar@{-->}[ur]^{Δ_{∗}} \ar[dr]^{Δ̃_{∗}} &  &  & π_{r}(S^{r+1}) = 0 \\  & π_{r}(V_{r+1,1}) \ar[r] & π_{r}(V_{r+2,2}) \ar@{-->}[ur]}

Da V_{r+1,1} = S^{r}, folgt Δ̃_{∗} = (p_{r})_{∗}Δ_{∗}, wobei p_{r} die Abbildung aus (∗) ist. Mit (∗) und dem Homomorphiesatz folgt dann aber auch schon die Behauptung.

Analog gilt für die komplexe Stiefel-Mannigfaltigkeit

1.6 Satz. π_{i}(V_{n,k})(ℂ^{n}) = \begin{cases}0 & i ≤ 2(n − k) \\ ℤ & i = 2(n − k) + 1 \end{cases}

2 Hindernisse und Stiefel-Whitney Klassen

Sei B ein CW-Komplex und ξ ein n-dimensionales Vektorraumbündel über B. Zu jeder Faser F_{x} erhalten wir zugehörige Stiefel-Mannigfaltigkeit V_{k}(F_{x}) := V_{n,k}. Wenn wir dies global betrachten, erhalten wir zugehöriges Faserbündel V_{k}(ξ) mit Faser V_{k}(F). Offensichtlich gilt nun folgender Satz

2.1 Satz. Es existiert ein nicht verschwindender Schnitt in V_{k}(ξ), genau dann wenn in ξ linear unabhängige Schnitte s_{1}, …, s_{k} existieren.

Da V_{k}(F) nach (1.4) (n − k − 1)-zusammenhängend, existiert primäres Hindernis (für n − k = 0 ist π_{0}(V_{k}(F)) = H̃^{0}(V_{k}(F); ℤ))

γ^{n−k+1}(V_{k}(ξ)) ∈ H^{n−k+1}(B; π_{n−k}(V_{k}(F)))

Setze j := n − k + 1, dann gilt

𝔬_{j}(ξ) := γ^{j}(V_{k}(ξ)) ∈ H^{j}(B; π_{j−1}(V_{n−j+1}(F)))

Nach (1.5) ist π_{j−1}(V_{n−j+1}(F)) ⊗ ℤ/2 ≅ ℤ/2 und somit induziert die Projektion h : ℤ → ℤ/2 ein lokales Koeffizientensystem h_{∗}π_{j−1}(V_{n−j+1}(F)) mit ℤ/2 als einzige Gruppe und ist somit einfach. Demnach ist h_{∗}𝔬_{j}(ξ) ∈ H^{j}(B; ℤ/2).

2.2 Satz. h_{∗}𝔬_{j}(ξ) = w_{j}(ξ)

Beweis. Betrachte γ^{n} über G_{n}. Es gilt H^{∗}(G_{n}; ℤ/2) ≅ ℤ/2[w_{1}(γ^{n}), …, w_{n}(γ^{n})], also folgt 𝔬_{j}(γ^{n}) = f_{j}(w_{1}(γ^{n}), …, w_{n}(γ^{n})) mit f_{j} als Polynom in n Variablen. Da w_{∗} und 𝔬_{∗} natürlich, gilt allgemein für jedes Vektorraumbündel ξ über B

h_{∗}𝔬_{j}(ξ) = f_{j}(w_{1}(ξ), …, w_{n}(ξ))

Da h_{∗}𝔬_{j}(ξ) ∈ H^{j}(B; ℤ/2), läßt sich 𝔬_{j}(ξ) eindeutig schreiben durch

h_{∗}𝔬_{j}(ξ) = f′_{j}(w_{1}(ξ), …, w_{j−1}(ξ)) + λw_{j}(ξ)

für geeignetes Polynom f′_{j}. Betrachte η := γ^{j−1} ⊕ ε^{n−j+1} über G_{j−1}. Es besitzt η offensichtlich n − j + 1 linear unabhängige Schnitte und somit gilt 𝔬_{j}(η) = 0 und ferner

0 = h_{∗}𝔬_{j}(η) = f′_{j}(w_{1}(η), …, w_{j−1}(η)) + λw_{j}(η)
= f′_{j}(w_{1}(γ^{j−1}), …, w_{j−1}(γ^{j−1})) + 0

Nun sind aber w_{1}(γ^{j−1}), …, w_{j−1}(γ^{j−1}) algebraisch unabhängig, also f′_{j} = 0 und demnach

h_{∗}𝔬_{j}(ξ) = λw_{j}(ξ)

Es bleibt zu zeigen λ_{j,n} = λ = 1. Betrachte zuerst j = n und sei ξ := γ_{1}^{n} Vektorraumbündel über G_{n}(ℝ^{n+1}) ≅ ℝP^{n} (orthogonales Komplement). Es kann γ_{1}^{n} wie folgt beschrieben werden: zu jedem Paar {u, −u} ⊂ S^{n} ist die zugehörige Faser {u, −u}_{F} = {v| ⟨u, v⟩ = 0}. Sei nun u_{0} ∈ S^{n}, dann definiere Schnitt s durch

{u, −u} ↦ u_{0} − ⟨u_{0}, u⟩ u

Offensichtlich ist s wohldefiniert und deweitern gilt

⟨u_{0} − ⟨u_{0}, u⟩ u, u⟩ = ⟨u_{0}, u⟩ − ⟨u_{0}, u⟩ ⟨u, u⟩ = ⟨u_{0}, u⟩ (1 − ⟨u, u⟩)

und da u ∈ S^{n} folgt ⟨u, u⟩ = ∥u∥^{2} = 1 und somit trifft s auch die richtige Faser. Demnach ist s Schnitt von γ_{1}^{n} und verschwindet nur in u_{0}. Betrachten wir nun den zugehörigen Hinderniskozykel k

\xymatrix{ & F \\  & W \ar[u]^{f}_{≃} \ar[r] \ar[d]^{p} & V_{1}(γ_{1}^{n}) \ar[d]^{p} \\ Δ̇_{n} \ar@{.>}[ur]^{k} \ar[r]^{i} & Δ_{n} \ar[r]^{q} & _{ℝP_{n}}}

Wie man leicht sieht gilt

f : W → F (u, v) ↦ (u_{0}, −u)

und somit ist k die antipodische Abbildung, also ein Erzeuger für

π_{n−1}(V_{1}(F)) = π_{n−1}(F − 0) ≅ ℤ

Demnach ist h^{∗}𝔬(γ_{1}^{n}) ≠ 0, also λ_{n,n} = 1. Der Fall j < n ist völlig analog zu behandeln. Statt γ_{1}^{n} benutzt man γ_{1}^{j} ⊕ ε^{n−j} über G_{j}(ℝ^{j+1}) ≅ ℝP^{j} und statt der Antipodischen erhält man eine Abbildung von der man mit dem Beweis von (1.5) leicht sieht, daß sie der Erzeuger für π_{j−1}(V_{n−j+1}(F)) ist.

2.3 Korollar. 𝔬_{2j}(ξ) = w_{2j}(ξ)

Beweis. Mit (1.5) folgt π_{2j−1}(V_{n−2j+1}(F)) ≅ ℤ/2 und mit dem letzten Satz dann die Behauptung.

Sei B̃ ⟶^{p} B zweiblättrige Überlagerung. Konstruiere Linienbündel ξ über B mit Totalraum E_{ξ} := B̃×ℝ/ ∼, wobei (x, t) ∼ (x′, −t), falls x ≠ x′ und p(x) = p(x′). Offensichtlich gilt E_{0} ≃ B̃. Wir betrachten die zu ξ zugehörige Gysin-Sequenz

… → H^{j−1}(B) ⟶^{∪w_{1}(ξ)} H^{j}(B) ⟶^{p_{∗}} H^{j}(B̃) → …

2.4 Satz. Sei G̃_{n} die orientierte Grassmann-Mannigfaltigkeit, dann ist G̃_{n} → G_{n} eine zweiblättrige Überlagerung. Für γ̃^{n} := p^{∗}γ^{n} gilt

H^{∗}(G̃_{n}; ℤ/2) ≅ ℤ/2[w_{2}(γ̃^{n}), …, w_{n}(γ̃^{n})]

Beweis. Betrachte stetige Abbildung

o : G̃_{n} → G̃_{n} (U, ±1) ↦ (U, ∓1)

Mit o operiert ℤ/2 auf G̃_{n} und somit ist G̃_{n} → G̃_{n}/(ℤ/2) = G_{n} zweiblättrige Überlagerung. Wir erhalten also nach obigen Überlegungen exakte Sequenz

… → H^{j−1}(G_{n}) ⟶^{∪c} H^{j}(G_{n}) ⟶^{p_{∗}} H^{j}(G̃_{n}) → …

Nehmen wir nun c = 0 an. Wir bekommen kurze exakte Sequenz

0 → H^{0}(G_{n}) → H^{0}(G̃_{n}) → H^{1}(G_{n}) ⟶^{∪0} 0

da H^{0}(G_{n}) ≅ ℤ/2 und H^{1}(G_{n}) ≅ ℤ/2, ist demnach H^{0}(G̃_{n}) ≅ (ℤ/2)^{2} und somit ist G̃_{n} nicht wegzusammenhängend, Dies ist aber ein Widerspruch, da V_{∞,n} nach (1.4) wegzusammenhängend. Also kann nur gelten c = w_{1}(γ^{n}). Da H^{∗}(G_{n}; ℤ/2) ≅ ℤ/2[w_{1}(γ^{n}), …, w_{n}(γ^{n})], ist

H^{j−1}(G_{n}) ⟶^{∪w_{1}(γ^{n})} H^{j}(G_{n}) injektiv und somit H^{j}(G̃_{n}) ⟶^{p_{∗}} H^{j}(G_{n}) surjektiv mit

ker p_{∗} =<w_{1}(γ^{n})>⊂ H^{∗}(G_{n}; ℤ/2) ≅ ℤ/2[w_{1}(γ^{n}), …, w_{n}(γ^{n})]

und da nach Definition p^{∗}γ^{n} = γ̃^{n} folgern wir p^{∗}w(γ^{n}) = w(γ̃^{n}) und somit folgt mit dem Homomorphiesatz die Behauptung.

2.5 Korollar. Sei ξ orientierbares Vektorraumbündel über B (nicht notwendigerweise CW-Komplex), dann gilt w_{1}(ξ) = 0.

2.6 Bemerkung. Falls B ein CW-Komplex ist, so gilt sogar die Umkehrung.

3 Hindernisse und die Eulerklasse

Sei ξ orientiertes n-dimensionales Vektorraumbündel über einen CW-Komplex B, dann gilt mit dem Hurewicz-Isomorphismus

π_{n−1}(V_{1}(F))) = π_{n−1}(F − 0) ≅ H_{n−1}(F − 0) ≅ H_{n}(F, F − 0)

Da ξ orientiert, ist H_{n}(F, F − 0) ≅ ℤ verträglich mit den Kartenwechseln. Wir folgern also, daß π_{n−1}(F) einfach ist und demnach

𝔬_{n}(ξ) ∈ H^{n}(B; ℤ)

3.1 Satz. 𝔬_{n}(ξ) = e(ξ) für orientiertes n-dimensionales Vektorraumbündel ξ über einen CW-Komplex B.

Beweis. Betrachte die Projektion p_{0} : E_{0} → B und das zurückgezogene Vektorraumbündel p_{0}^{∗}ξ. Offensichtlich besitzt dieses Bündel einen nirgends verschwindenden Schnitt und somit gilt

p_{0}^{∗}𝔬_{n}(ξ) = 𝔬_{n}(p_{0}^{∗}ξ) = 0

Mit der Gysin-Sequenz

H^{0}(B) ⟶^{∪e} H^{n}(B) ⟶^{p_{0}^{∗}} H^{n}(E_{0})

folgt, daß 𝔬_{n}(ξ) = λ ∪ e(ξ) = λe(ξ) für geeignetes λ ∈ H^{0}(B) gilt. Speziell erhalten wir also 𝔬_{n}(γ̃^{n}) = λe(γ̃^{n}). Wenden wir nun die Projektion ℤ → ℤ/2 an, so folgt

w_{n}(γ̃^{n}) = h_{∗}𝔬_{n}(γ̃^{n}) = λw_{n}(γ̃^{n})

Also ist λ_{n} := λ ungerade. Falls n ungerade ist, so ist 2e(ξ) = 0. Also erhalten wir

𝔬_{n}(ξ) − e(ξ) = λ_{n}e(ξ) − e(ξ) = (λ_{n} − 1)e(ξ) = 0

da λ_{n} − 1 gerade. Somit also die Behauptung. Sei nun n gerade und sei ferner τ das Tangentialbündel der S^{n} und μ ∈ H_{n}(S^{n}) die Fundamentalklasse. Wir erhalten ⟨e(τ), μ⟩ = χ(S^{n}) = 2. Nach [2, 39.6] gilt die analoge Gleichung

⟨𝔬_{n}(τ), μ⟩ = 2

und somit muß λ_{n} = 1 gelten und es folgt die Behauptung.

4 Hindernisse und Chernklassen

Sei ξ komplexes k-dimensionale Vektorraumbündel über einen CW-Komplex B. Man kann nun analog zum Reellen auch hier übergehen zu dem Faserbündel V_{k}(F), wobei V_{k}(F) die komplexe Stiefel-Mannigfaltigkeit ist. Es ist V_{k}(F) nach (1.6) 2(n − k)- zusammenhängend. Es existiert also primäres Hindernis

γ^{2(n−k)+2} ∈ H^{2(n−k)+2}(B; π_{2(n−k)+1}(F))

Das zugehörige lokale Koeffizientensystem ist einfach, da U_{n} zusammenhängend ist und somit die Kartenwechsel zueinander homotop sind, also auf Ebene der Homotopiegruppen zusammenfallen. Mit (1.6) und q := (n − k) erhalten wir

𝔬_{q+1}(ξ) := γ^{2q+2} ∈ H^{2q+2}(B; ℤ)

4.1 Satz. Für komplexes k-dimensionales Vektorraumbündel ξ über einen CW-Komplex B gilt 𝔬_{q}(ξ) = c_{q}(ξ) für alle 0 ≤ q ≤ k.

Literatur

[1] Milnor, John W. ; Stasheff, James D.: Characteristic Classes. Princeton University Press, 1974

[2] Steenrod, Norman: The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press, 1974

[3] Whitehead, George W.: Elements of homotopy theory. Springer, 1995