Topologie Seminar

Instructions for Obstructions

       Marcus Meyer (marmeyer@uni-muenster.de)
     Clara Strohm (strohm@math.uni-muenster.de)

4. Juni 2002

Wir untersuchen im folgenden die Fragestellung, wann eine Abbildung von einem Unterkomplex auf den ganzen Komplex fortgesetzt werden kann und wieviele Homotopieklassen solcher Fortsetzungen es dann gibt. Dazu gehen wir gerüstweise vor. Es wird sich herausstellen, dass die Fortsetzbarkeit vom Verschwinden gewisser Kohomologieklassen abhängt. (Diese sind sogar – was hier nicht gezeigt wird – durch “einfache” Operationen berechenbar).

1 Einführung – einfache Fälle

Sei (X, A) ein relativer CW-Komplex, Y nichtleer und f: A ⟶ Y eine Abbildung. Dass f auf das Nullgerüst X_{0} fortgesetzt werden kann, ist klar. Sei nun E eine Einszelle mit charakteristischer Abbildung h: (Δ^{1}, ∂Δ^{1}) ⟶ (X_{1}, X_{0}), d.h. die Punkte

y_{0} := f(h(0, 1)) und y_{1} := f(h(1, 0))

liegen in Y. Also kann f genau dann auf E fortgesetzt werden, wenn y_{0} und y_{1} in derselben Wegzusammenhangskomponente von Y liegen. Insbesondere gilt:

Bemerkung. Ist Y wegzusammenhängend, so kann jede Abbildung f: (X, A) ⟶ Y auf das Einsgerüst fortgesetzt werden.

2 Vorbereitungen

Für den allgemeinen Fall benötigen wir die Operation der Fundamentalgruppe auf den höheren Homotopiegruppen und eine allgemeine Version der Hurewiczsätze.

Einführung in die Hindernistheorie

2.1 Die Operation von π_{1} auf π_{n}

2.1 Definition. Sei Y ein topologischer Raum. Dann ist der Fundamentalgruppoid Π(Y) von Y die Kategorie,

• deren Objekte die Punkte von Y sind, und

• in der die Morphismen zwischen y_{0}, y_{1} ∈ Y gerade die Homotopieklassen von Wegen (relativ {0, 1}) von y_{0} nach y_{1} sind.

Sei (X, x_{0}) ein wohlpunktierter und Y ein topologischer Raum. Wir definieren einen Funktor

τ: Π(Y) ⟶ Mengen

wie folgt: Wir setzen

∀_{y∈Y} τ(y) := [(X, x_{0}), (Y, y)]

(und meinen damit punktierte Homotopieklassen). Sind y_{0}, y_{1} ∈ Y und w: [0, 1] ⟶ Y mit w(0) = y_{0}, w(1) = y_{1}, sowie f: (X, x_{0}) ⟶ (y, y_{0}), so existiert – da {x_{0}} ↪ X eine Kofaserung ist – eine Homotopie h: X × [0, 1] ⟶ Y mit

h_{0} = f und h(x_{0}, ·) = w

(eine sog. freie Homotopie längs w). Dann ist h_{1} eine Abbildung (X, x_{0}) ⟶ (Y, y_{1}) und wir setzen

τ_{[w]}([f]) := [h_{1}].

D.h.

τ_{[w]} : [(x, x_{0}), (Y, y_{0})] ⟶ [(X, x_{0}), (Y, y_{1})].

Dass dies tatsächlich alles hübsch wohldefiniert ist, wird in [Wh, p. 99f.] gezeigt. Wir betrachten nun folgende Spezialfälle: Für X = S^{1} erhalten wir den Funktor

τ: Π(Y) ⟶ Gruppen
y ↦ π_{1} (Y, y)

und für X = S^{n} (mit n ∈ ℕ_{≥2}) den Funktor

τ: Π(Y) ⟶ Abel
y ↦ π_{n} (Y, y) .

Bemerkung. Zu n ∈ ℕ und y ∈ Y liefern diese Funktoren durch Einschränkung also eine Operation von π_{1} (Y, y) auf π_{n} (Y, y) .

2.2 Definition. Sei n ∈ ℕ. Ein topologischer Raum Y heisst n-einfach, wenn für jeden Grundpunkt y_{0} ∈ Y die Fundamentalgruppe π_{1} (Y, y_{0}) trivial auf der n-ten Homotopiegruppe π_{n} (Y, y_{0}) operiert.

2.3 Bemerkung. Ein Raum ist genau dann 1-einfach, wenn seine Fundamentalgruppe (zu jedem Grundpunkt) abelsch ist.

2 Vorbereitungen

2.4 Lemma. Sei Y ein wegzusammenhängender n-einfacher Raum und y_{0}, y_{1} ∈ Y. Dann gibt es genau einen durch den Funktor τ induzierten Isomorphismus

π_{n} (Y, y_{0}) ⟶ π_{n} (Y, y_{1}) ,

d.h. Jede Abbildung (S^{n}, 1) ⟶ Y bestimmt ein wohldefiniertes Element in π_{n} (Y) .

Beweis. Klar.

Analog gibt es auch einen Funktor τ′, der eine Operation der relativen Fundamentalgruppe auf den relativen Homotopiegruppen induziert (siehe etwa [Wh, p. 101]).

2.5 Definition. Sei (Y, y) ein zusammenhängender topologischer Raum und n ∈ ℕ. Dann schreiben wir ω_{n} (Y, y) für die Untergruppe von π_{n} (Y, y) , die durch die Elemente der Form α − τ_{ξ}(α) mit ξ ∈ π_{1} (Y, y) , α ∈ π_{n} (Y, y) erzeugt wird. Ausserdem definieren wir

π_{n}^{∗} (Y, y) := π_{n} (Y, y) /ω_{n} (Y, y) .

2.6 Lemma. Sei f: X ⟶ Y eine stetige Abbildung. Dann gilt

f_{∗}(ω_{n} (X)) ⊂ ω_{n} (Y) .

Beweis. Sei ξ ∈ π_{1} (Y, y) und α ∈ π_{n} (Y, y) Dann folgt aus der Definition der freien Homotopie, dass

f_{∗}(τ_{ξ}(α)) = τ_{f(ξ)}(f_{∗}(α)),

und damit die Behauptung.

2.7 Definition. Sei (Y, A, y) ein Paar topologischer Räume und n ∈ ℕ. Dann schreiben wir ω′_{n} (Y, A, y) für die Untergruppe von π_{n} (Y, A, y) , die durch die Elemente der Form α − τ′_{ξ}(α) mit ξ ∈ π_{1} (A, y) , α ∈ π_{n} (Y, A, y) erzeugt wird. Ausserdem definieren wir

π_{n}^{†} (Y, A, y) := π_{n} (Y, A, y) /ω′_{n} (Y, A, y) .

Dabei gilt (s. [Wh] IV(3.1)) für den Randoperator aus der Homotopie-Paarsequenz des Paares (X_{n+1}, X_{n})

∂_{∗}(ω′_{n+1} (X_{n+1}, X_{n})) ⊂ ω_{n} (X_{n}) .

2.2 Hurewiczsätze

Um später eine “globale” Beschreibung der Hindernisse zu erhalten, benötigen wir eine allgemeinere Form der Hurewiczsätze:

2.8 Satz (Absolute Version des Satzes von Hurewicz). Sei n ∈ ℕ_{≥1} und Y ein (n − 1)-zusammenhängender topologischer Raum. Dann induziert der Hurewiczhomomorphismus ρ: π_{n} (Y) ⟶ H_{n}(Y) einen Isomorphismus

π_{n}^{∗} (Y) ⟶ H_{n}(Y).

2.9 Satz (Relative Version des Satzes von Hurewicz). Sei n ∈ ℕ_{≥2} und (Y, A) ein (n − 1)-zusammenhängendes Paar. Dann wird durch den relativen Hurewiczhomomorphismus ρ: π_{n} (Y, A) ⟶ H_{n}(Y, A) ein Isomorphismus

π_{n}^{†} (Y, A) ⟶ H_{n}(Y, A)

induziert.

Zum Beweis siehe [Wh, IV.7].

3 Hindernisse zur Fortsetzung einer Abbildung

Im folgenden sei (X, A) ein relativer CW-Komplex mit der Filtrierung (X_{n})_{n∈ℕ} und Y ein wegzusammenhängender n-einfacher Raum. Weiter sei f: X_{n} ⟶ Y eine stetige Abbildung.

3.1 Lokale Beschreibung

Seien (E_{α}^{n+1})_{α∈J} die (n + 1)-Zellen von (X, A) und h_{α}: (Δ^{n+1}, ∂Δ^{n+1}) ⟶ (X_{n+1}, X_{n}) charakteristische Abbildungen. Sei α ∈ J. Da Y nach Voraussetzung n-einfach ist, repräsentiert die Komposition

f ∘ h_{α}|_{∂Δ^{n+1}} : ∂Δ^{n+1} ⟶ X_{n} ⟶ Y

ein Element c_{α} ∈ π_{n} (Y) . Durch die Zuordnung

e_{α} ↦ c_{α}

erhalten wir also eine Funktion der Basis (e_{α})_{α∈J} des Zellenkomplexes Γ_{n+1} (X, A) in die abelsche Gruppe π_{n} (Y) . Diese können wir zu einem Homomorphismus Γ_{n+1} (X, A) ⟶ π_{n} (Y) (von ℤ-Moduln) fortsetzen, was gerade einem Element

c^{n+1} (f) ∈ Γ^{n+1} (X, A; π_{n} (Y)) = Hom_{ℤ}(Γ_{n+1} (X, A) , π_{n} (Y))

entspricht.

3.1 Definition. Die Kokette c^{n+1} (f) heisst Hindernis zur Fortsetzung von f.

3.2 Globale Beschreibung

Sei ρ: π_{n+1} (X_{n+1}, X_{n}) ⟶ H_{n+1}(X_{n+1}, X_{n}) ≅ Γ_{n+1} (X, A) der Hurewiczhomomorphismus und ∂_{∗} der Randoperator aus der Homotopie-Paar-Sequenz von (X_{n+1}, X_{n}) :

\xymatrix{Γ_{n+1} (X, A) & π_{n+1} (X_{n+1}, X_{n}) \ar[l]_{ρ} \ar[r]^{∂_{∗}} & π_{n} (X_{n}) \ar[r]^{f_{∗}} & π_{n} (Y)}

Dies liefert uns eine “globale” Beschreibung des Hindernisses c^{n+1} (f) .

3 Hindernisse zur Fortsetzung einer Abbildung

3.2 Lemma. Dann ist f_{∗} ∘ ∂_{∗} ∘ ρ^{−1} ein wohldefinierter Homomorphismus und

c^{n+1} (f) = f_{∗} ∘ ∂_{∗} ∘ ρ^{−1}.

Beweis. Wir zeigen zunächst die Wohldefiniertheit: Nach dem relativen Satz von Hurewicz ist ρ surjektiv (das Paar (X_{n+1}, X_{n}) ist n-zusammenhängend) und

ker ρ = ω′_{n+1} (X_{n+1}, X_{n}) .

Ausserdem gilt (s.o. bzw. da Y als n-einfach vorausgesetzt ist)

∂_{∗}(ω′_{n+1} (X_{n+1}, X_{n})) ⊂ ω_{n} (X_{n}) und f_{∗}(ω_{n} (X_{n})) ⊂ ω_{n} (Y) = 0,

und damit f_{∗} ∘ ∂_{∗}(ω′_{n+1} (X_{n+1}, X_{n})) = 0. Also kommutiert das Diagramm

\xymatrix{ & π_{n+1}^{†} (X_{n+1}, X_{n}) \ar@{-->}[dl]_{≅} \ar@{-->}[drr] \\ Γ_{n+1} (X, A) & π_{n+1} (X_{n+1}, x_{n}) \ar[l] \ar[r]_{∂_{∗}} \ar@{->>}[u] & π_{n} (X_{n}) \ar[r]_{f_{∗}} & π_{n} (Y)}

d.h. f_{∗} ∘ ∂_{∗} ∘ ρ^{−1} ist ein wohldefinierter Homomorphismus. Dass c^{n+1} (f) = f_{∗} ∘ ∂_{∗} ∘ ρ^{−1} ist, folgt aus der Definition des Randoperators bzw. des Hurewiczhomomorphismus und der Gestalt des Isomorphismus Γ_{n+1} (X, A) ≅ H_{n+1}(X_{n+1}, X_{n}).

3.3 Grundlegende Eigenschaften

3.3 Bemerkung. Das Hindernis c^{n+1} (f) besitzt die folgenden Eigenschaften:

• Für jede (n + 1)-Zelle E_{α}^{n+1} von (X, A) gilt: Die Abbildung f|_{∂E_{α}^{n+1}} kann genau dann auf E_{α}^{n+1} fortgesetzt werden, wenn c^{n+1} (f) (e_{α}^{n+1}) = 0 ist.

• Die Abbildung f: X_{n} ⟶ Y kann genau dann auf ganz X_{n+1} fortgesetzt werden, wenn c^{n+1} (f) = 0 ist.

• Ist (X′, A′) ein relativer CW-Komplex und g: (X′, A′) ⟶ (X, A) eine zelluläre

Abbildung, so ist

c^{n+1} (f ∘ (g|_{X′_{n}})) = g^{♯} ∘ c^{n+1} (f) ,

wobei wir mit g^{♯} die von g induzierte Abbildung auf den Zellenkomplexen bezeichnen.

• Ist Y′ ein weiterer n-einfacher Raum und h: Y ⟶ Y′, so ist

c^{n+1} (h ∘ f) = h_{∗} ∘ c^{n+1} (f) .

• Ist f_{0} ≃ f_{1} : X_{n} ⟶ Y, so ist

c^{n+1} (f_{0}) = c^{n+1} (f_{1}) .

Beweis. Die ersten beiden Aussagen folgen direkt aus der lokalen Beschreibung, die anderen aus der globalen.

3.4 Satz. Das Hindernis c^{n+1} (f) ist ein Kozykel.

Beweis. Wir betrachten das kommutative Diagramm

\xymatrix{H_{n+2}(X_{n+2}, X_{n+1}) \ar[d]_{∂_{1}} & π_{n+2} (X_{n+2}, X_{n+1}) \ar[l]^{ρ_{1}} \ar[d]^{∂_{2}} \\ H_{n+1}(X_{n+1}) \ar[d]_{i_{1}} & π_{n+1} (x_{n+1}) \ar[l]^{ρ} \ar[d]^{i_{2}} \\ H_{n+1}(X_{n+1}, X_{n}) & π_{n+1} (X_{n+1}, X_{n}) \ar[l]^{ρ_{2}} \ar[r]_{∂_{3}} & π_{n} (X_{n}) \ar[r]_{f_{∗}} & π_{n} (Y) .}

Dabei bezeichnen wir mit ρ die Hurewicz- und mit ∂ die Randoperatoren der entsprechenden Homologie- bzw. Homotopiesequenzen. Die is stehen für die Inklusionen. Dann erhalten wir

(−1)^{n+1}(δc^{n+1} (f)) ∘ ρ_{1} = (c^{n+1} (f) ∘ i_{1} ∘ ∂_{1}) ∘ ρ_{1}
= f_{∗} ∘ ∂_{3} ∘ ρ_{2}^{−1} ∘ i_{1} ∘ ∂_{1} ∘ ρ_{1}
= f_{∗} ∘ ∂_{3} ∘ ρ_{2}^{−1} ∘ ρ_{2} ∘ i_{2} ∘ ∂_{2}
= f_{∗} ∘ ∂_{3} ∘ i_{2} ∘ ∂_{2}.

Da i_{2} und ∂_{3} in der Homotopiesequenz des Paares (X_{n+1}, X_{n}) aufeinanderfolgen, ist ∂_{3} ∘ i_{2} = 0, und damit (δc^{n+1} (f)) ∘ ρ_{1} = 0. Mit der Surjektivität des Hurewiczhomomorphismus ρ_{1} folgt also

δc^{n+1} (f) = 0.

4 Die Differenzkokette

Wie immer sind wir nicht nur an den Eigenschaften von Abbildungen, sondern auch an den Eigenschaften entsprechender Homotopien interessiert.

4.1 Definition

Sei (X̂, Â) := I × (X, A), d.h. (X̂, Â) ist ein relativer CW-Komplex, wobei

X̂_{n} = I × X_{n−1} ∪ ∂I × X_{n}.

Jede Abbildung F: X̂_{n} ⟶ Y besteht aus einem Paar f_{0}, f_{1} : X_{n} ⟶ Y von Abbildungen und einer Homotopie G: I×X_{n−1} ⟶ Y zwischen f_{0}|_{X_{n−1}} und f_{1}|_{X_{n−1}}. (Dabei betrachten wir I als CW-Komplex mit den beiden Nullzellen {0} und {1} und einer Einszelle i mit

5 Eine exakte Sequenz mit Hindernissen

∂i = 1 − 0.) Sei d^{n} (f_{0}, G, f_{1}) := d^{n} (F) ∈ Γ^{n} (X, A; π_{n} (Y)) die Abbildung, die gegeben ist durch

∀_{c∈Γ_{n}(X,A)} d^{n} (F) (c) := (−1)^{n}c^{n+1} (F) (i × c).

4.1 Definition. Das Element d^{n} (f_{0}, G, f_{1}) ∈ Γ^{n} (X, A; π_{n} (Y)) heisst Differenzkokette von (f_{0}, f_{1}) bezüglich G.

Ausserdem gibt es auch zur Differenzkokette eine lokale Beschreibung (s. [Wh, p. 231]).

4.2 Grundlegende Eigenschaften

Analog zur entsprechenden Bemerkung über Hindernisse folgt:

Bemerkung. Die Differenzkokette besitzt die folgenden Eigenschaften:

• Für jede n-Zelle E_{α}^{n} von (X, A) gilt: Die Einschränkung F |_{∂(I×E_{α}^{n})} kann genau dann auf I × E_{α}^{n} fortgesetzt werden, wenn d^{n} (e_{α}^{n}) = 0 ist.

• Es gibt genau dann eine Homotopie von f_{0} und f_{1}, die die Homotopie G fortsetzt, wenn d^{n} (f_{0}, G, f_{1}) = 0 ist.

• Ist (x′, A′) ein relativer CW-Komplex, g: (X′, A′) ⟶ (X, A) eine zelluläre Abbildung und g′: X̂′_{n} ⟶ X̂_{n} die Einschränkung von 1 × g, so ist

d^{n} (F ∘ g′) = g^{♯} ∘ d^{n} (F) .

• Ist Y′ ein weiterer n-einfacher Raum und h: Y ⟶ Y′, so ist

h_{∗} ∘ d^{n} (F) = d^{n} (h ∘ F) .

• Ist F ≃ F′: X̂_{n} ⟶ Y, so ist

d^{n} (F) = d^{n} (F′) .

5 Eine exakte Sequenz mit Hindernissen

Wir zeigen im folgenden, dass es eine exakte Sequenz der Form

\xymatrix{[X_{n+1}, Y] \ar[r] & im ([x_{n}, Y] → [X_{n−1}, Y]) \ar[r]^{[c^{n+1}( · )]} & H^{n+1}(X, A; π_{n} (Y))}

gibt.

Die Differenzkokette d^{n} (f_{0}, G, f_{1}) ist im allegemeinen kein Kozykel. Aber δd^{n} (f_{0}, G, f_{1}) lässt sich aus den Hindernissen c^{n+1} (f_{0}) und c^{n+1} (f_{1}) berechnen:

5.1 Satz. In der obigen Situation gilt

δd^{n} (f_{0}, G, f_{1}) = c^{n+1} (f_{1}) − c^{n+1} (f_{0}) .

Beweis. Sei c ∈ Γ_{n+1} (X, A) . Da c^{n+1} (F) ein Kozykel ist, folgt

0 = (−1)^{n+1}δc^{n+1} (F) (i × ∂c)
= c^{n+1} (F) (∂(i × c))
= c^{n+1} (F) (1 × c − 0 × c − i × ∂c).

Wegen

c^{n+1} (F (0 × c)) = c^{n+1} (f_{0}) (c)
c^{n+1} (F (1 × c)) = c^{n+1} (f_{1}) (c)

erhalten wir daraus (mit der Definition von d^{n+1} (F))

c^{n+1} (f_{1}) (c) − c^{n+1} (f_{0}) (c) = c^{n+1} (F) (i × ∂c)
= (−1)^{n}d^{n} (F) (∂c)
= δd^{n} (F) (c).

5.2 Satz. Sei f: X_{n} ⟶ Y. Dann kann f|_{X_{n−1}} genau dann auf X_{n+1} fortgesetzt werden, wenn c^{n+1} (f) ∼ 0 ist.

Wir benötigen folgendes Lemma:

5.3 Lemma. Sei F_{0} : 0×X_{n}∪I ×X_{n−1} ⟶ Y eine Abbildung und d ∈ Γ^{n} (X, A; π_{n} (Y)) . Dann gibt es eine Fortsetzung F: X̂_{n} ⟶ Y von F_{0} mit

d^{n} (F) = d.

Der (nicht sehr schwierige) Beweis findet sich in [Wh, p. 232f.]. Nun zum Beweis des Satzes:

Beweis. Sei f′: X_{n+1} ⟶ Y eine Fortsetzung von f|_{X_{n−1}}, d.h. c^{n+1} (f′) = 0. Wir betrachten die Funktion F: X̂_{n} ⟶ Y, die gegeben ist durch

∀_{x∈X_{n}} F (0, x) := f′(x) und F (1, x) := f(x)
∀_{x∈X_{n−1}} ∀_{t∈I} F (t, x) := f(x) = f′(x).

Also ist

δd^{n} (F) = c^{n+1} (f) − c^{n+1} (f′|_{X_{n}})
= c^{n+1} (f) ,

und damit c^{n+1} (f) ∼ 0.

Sei andersherum c^{n+1} (f) = δd für ein d ∈ Γ^{n} (X, A; π_{n} (Y)) . Nach obigem Lemma existiert eine Abbildung F: X̂_{n} ⟶ Y, so dass

∀_{x∈X_{n}} F (0, x) = f(x)
∀_{x∈X_{n−1}} ∀_{t∈I} F (t, x) = f(x)

6 Eine Menge Hindernisse

und d^{n} (F) = −d. Wir definieren nun f′: X_{n} ⟶ Y durch

∀_{x∈X_{n}} f′(x) := F (1, x).

Dann ist

c^{n+1} (f) = δd
= −δd^{n} (F)
= c^{n+1} (f) − c^{n+1} (f′) ,

und damit c^{n+1} (f′) = 0. Also können wir f′ fortsetzen auf X_{n+1}. Wegen f′|_{X_{n−1}} = f|_{X_{n−1}} liefert dies aber die gewünschte Fortsetzung von f|_{X_{n}−1} auf X_{n+1}.

Ein analoger Satz gilt auch für die Differenzen. (s. [Wh, p. 235]. Der letzte Satz liefert uns den wesentlichen Teil der angestrebten exakten Sequenz:

5.4 Satz. Es gibt eine exakte Sequenz der Form

\xymatrix{[X_{n+1}, Y] \ar[r] & im ([x_{n}, Y] → [X_{n−1}, Y]) \ar[r]^{[c^{n+1}( · )]} & H^{n+1}(X, A; π_{n} (Y))}

Beweis. Nach dem letztenn Satz genügt es zu zeigen, dass die rechte Abbildung wohldefiniert ist: Seien also f_{n}, g_{n}: X_{n} ⟶ Y Abbildungen mit f_{n}|_{X_{n−1}} ≃ g_{n}|_{X_{n−1}}. Wir betrachten die Funktion F: X̂_{n} ⟶ Y, die gegeben ist durch

∀_{x∈X_{n}} F (0, x) := f_{n}(x) und F (1, x) := g_{n}(x)

und eine Homotopie F |_{X_{n−1}×I}: f_{n} ≃ g_{n}. Dann ist

δ(f_{n}, F, f_{1}) = c^{n+1} (f_{n}) − c^{n+1} (g_{n}) ,

und damit c^{n+1} (f_{n}) ∼ c^{n+1} (g_{n}) . Also ist die rechte Abbildung [c^{n+1} ( · )]: im ([X_{n}, Y] → [X_{n−1}, Y]) ⟶ H^{n+1}(Γ^{n+1} (X, A; π_{n} (Y))) ≅ H^{n+1}(X, A; π_{n} (Y)) wohldefiniert.

6 Eine Menge Hindernisse

Sei O′_{n+1}(f) ⊂ Γ^{n+1} (X, A; π_{n} (Y)) die Menge aller Hindernisse, die bei der Fortsetzung von f: A ⟶ Y auf X_{n} auftreten. Stimmen zwei Fortsetzungen auf X_{n−1} überein, so haben wir bereits gezeigt, dass die entsprechenden Hindernisse kohomolog sind. Andersherum gilt:

6.1 Lemma. Jeder Kozykel, der kohomolog ist zu einem Hindernis, ist selber ein Hindernis.

Beweis. Sei f_{n}: X_{n} ⟶ Y eine Forsetzung von f: A ⟶ Y und c ∈ Γ^{n+1} (X, A; π_{n} (Y)) ein Kozykel mit c ∼ c^{n+1} (f) , etwa

c − c^{n+1} (f) = δd.

Dann ist c ein Hindernis, denn: Nach Lemma (5.3) existiert eine Abbildung F: X̂_{n} ⟶ Y mit

∀_{x∈X_{n}} F (0, x) = f_{n}(x)
∀_{x∈X_{n−1}} ∀_{t∈I} F (t, x) = f_{n}(x)

und d^{n} (F) = −d. Wir definieren g_{n}: X_{n} ⟶ Y durch

∀_{x∈X_{n}} g_{n}(x) := F (1, x).

Also ist g_{n}|_{X_{n−1}} = f_{n}|_{X_{n−1}} und

c = δd + c^{n+1} (f_{n})
= −d^{n} (F) + c^{n+1} (f_{n})
= −c^{n+1} (f_{n}) + c^{n+1} (g_{n}) + c^{n+1} (f_{n})
= c^{n+1} (g_{n}) .

Also ist die Menge O′_{n+1}(f) eine Vereinigung von Kohomologieklassen. Daher können wir O′_{n+1}(f) als Teilmenge O_{n+1}(f) ⊂ H^{n+1}(X, A; π_{n} (Y)) auffassen.

6.2 Definition. Die Menge O_{n+1}(f) ⊂ H^{n+1}(X, A; π_{n} (Y)) der Kohomologieklassen der Hindernisse zur Forsetzung von f auf X_{n} heisst (n + 1)-dimensionale Hindernismenge von f.

Dann gilt natürlich:

6.3 Satz. Die Abbildung f: A ⟶ Y kann genau dann auf X_{n+1} fortgesetzt werden, wenn 0 ∈ O_{n+1}(f) ist.

Allerdings hilft dies erst dann wirklich weiter, wenn wir die Menge O_{n+1}(f) konkret berechnen können.

7 Das primäre Hindernis

7.1 Konvention. Sei im folgenden Y (n − 1)-zusammenhängend bzw. 1-einfach, falls n = 1. Sei ferner Π := π_{n}(Y).

7.2 Satz. Sei f : A → Y eine Abbildung. Es läßt sich f dann zu einer Abbildung f̃: X_{n} → Y fortsetzen. Sind g_{0}, g_{1} zwei solche Fortsetzungen, so gilt g_{0}|X_{n−1} ≃_{A} g_{1}|X_{n−1} und c^{n+1}(g_{0}) ∼ c^{n+1}(g_{1}).

7 Das primäre Hindernis

Beweis. Da c^{k+1} ∈ Γ^{k+1}(X, A; π_{k}(Y)) und π_{k}(Y) = 0 für k < n folgt c^{k+1}(f) = 0 für k ≤ n. Also läßt sich jedes f fortsetzen. Seien nun g_{0}, g_{1} zwei solche Fortsetzungen, dann definiere

H′ : ∂I × X_{n} ∪ I × X_{n−1} → Y
H′_{0} = g_{0} und H′_{1} = g_{1}
H′_{t}(x) = g_{0}(x) = g_{1}(x) ∀x ∈ X_{n−1}, t ∈ I

Wende nun das obige Resultat auf den relativen CW-Komplex (I×X_{n}, ∂I×X_{n}∪I×X_{n−1}) und erhalte Fortsetzung H : I × X_{n} → Y, die gerade die gewünschte Homotopie ist. Nach (5.1) ist δd^{n}(g_{0}, H, g_{1}) = c^{n+1}(g_{0}) − c^{n+1}(g_{1}) und somit folgt auch die letzte Behauptung.

7.3 Definition. Sei f : A → Y eine Abbildung. Nach obigen Satz existiert also eine eindeutig bestimmte Kohomologieklasse γ^{n+1}(f) mit

γ^{n+1}(f) = 0 ⇔ f läßt sich auf X_{n+1} fortsetzen

γ^{n+1}(f) heißt das primäre Hindernis.

Wir wollen nun eine etwas explizitere Beschreibung für γ^{n+1}(f) finden.

Definition. Es gilt

H^{n}(Y, Π) ≅ Hom(H_{n}(Y, Π)

da H_{n}(Y, Π) = 0 für n > 1 und H_{0}(Y, Π) frei ist. Sei nun ι^{n}Y ∈ H^{n}(Y, Π) die zu dem Inversen des Hurewicz-Isomorphismus korrespondierende Abbildung. ι^{n}Y heißt die charakteristische Klasse.

7.4 Satz. γ^{n+1}(f) = (−1)^{n}δ^{∗}f ∗ ι^{n}(Y)

Beweis. Sei g : X_{n} → Y eine Fortsetzung von f. Wir erhalten kommutatives Diagramm

\xymatrix{H^{n}(Y; Π) \ar[r]^{f∗} \ar[dr]^{g∗} & H^{n}(A; Π) \ar[r]^{δ∗} & H^{n+1}(X, A; Π) \\  & H^{n}(X_{n}; Π) \ar[dr]^{g∗} \ar[r]^{δ_{1}} \ar[u]^{i_{1}} & H^{n+1}(X, X_{n}; Π) \ar[u]^{i_{2}} \ar[d]^{j_{1}} \\  &  & H^{n+1}(X_{n+1}, X_{n}; Π)}

Da H_{n+1}(X_{n+1}, X_{n}) → H_{n+1}(X, X_{n}) surjektiv ist, erhalten wir kurze exakte Sequenz 0 → ker(j_{1}) → H_{n+1}(X_{n+1}, X_{n}) → H_{n+1}(X, X_{n}) → 0. Wir erhalten zugehörige lange exakte Sequenz

0 ← Hom(ker(j_{1}), Π) ← Hom(H_{n+1}(X_{n+1}, X_{n}), Π)
← Hom(H_{n+1}(X, X_{n}), Π) ← Ext(ker(j_{1}), Π)

Nun ist aber H_{n+1}(X_{n+1}, X_{n}) frei, somit also auch ker(j_{1}) und demnach Ext(ker(j_{1}), Π) = 0. Also ist j_{1} injektiv. Es gilt sogar

im j_{1} ≅ Z^{n+1}(X, A; Π) ⊂ Γ^{n+1}(X, A; Π) ≅ H^{n+1}(X_{n+1}, X_{n})

Dazu betrachte folgendes kommutative Diagramm

\xymatrix{H^{n+1}(X_{n+1}, X_{n}) \ar[r]_{≅}^{k_{1}} & H^{n+1}(X_{n+1}) \ar[r]^{δ} & H^{n+2}(X_{n+2}, X_{n+1}) \\  & H^{n+1}(X_{n+2}) \ar[u]_{k_{2}} \\  & H^{n+1}(X) \ar[u]^{≅}_{k_{3}} \\  & H^{n+1}(X, X_{n}) \ar[u]^{≅}_{k_{4}} \ar[uuul]^{j_{1}}}

k_{1}, k_{2} sind Isomorphismen, da H^{l}(X_{n}) = 0 für l > n. Dies folgt, da H_{l}(X_{n}) = 0 für l > n und wir somit exakte Sequenz 0 → H_{n}(X_{n}) → H_{n}(X_{n}, X_{n−1}) erhalten, also H_{n}(X_{n}) frei ist. Mit dem universellen Koeffiziententheorem folgt nun das Verschwinden. Da δ ∘ k_{1} unser Differential aber k_{1} ein Isomorphismus ist, gilt ker δ ≅ Z^{n+1}. Nun ist jedoch das Teildiagramm zu (k_{2}, δ) exakt und somit folgt die Behauptung. Außerdem ist klar, daß dann i_{2} ∘ j_{1}^{−1} : Z^{n+1} → H^{n+1} die kanonische Projektion ist. Falls, was es noch zu beweisen ist, gilt

δ_{2}g^{∗}ι^{n}(Y) = (−1)^{n}c^{n+1}(g)  (∗)

so folgt

(−1)^{n}γ^{n+1}(f) = (−1)^{n}i_{2}j_{1}^{−1}c^{n+1}(g)
= i_{2}j_{1}^{−1}δ_{2}g_{∗}ι^{n}Y  mit (∗)
= i_{2}j_{1}^{−1}j_{1}^{−1}j_{1}δ_{1}g^{∗}ι^{n}(Y) = i_{2}δ_{1}ι^{n}(Y)
= δ^{∗}i_{1}g^{∗}ι^{n}(Y)

und damit die Behauptung. Nun also zu (∗). Dazu siehe [Wh, S.237-238]

7.5 Korollar (Hopf-Whitney Erweiterungstheorem). Falls dim(X, A) ≤ n + 1, dann kann f : A → Y genau dann fortgesetzt werden zu f̃: X → Y, wenn δ^{∗}f∗ι^{n}(Y) = 0 ist.

7.6 Satz (Eilenberg Erweiterungstheorem). Für alle n + 1 ≤ q < dim(X, A) sei Y q-einfach und H^{q+1}(X, A; π_{q}(Y)) = 0. Dann läßt sich f genau dann auf X fortsetzen, wenn γ^{n+1}(f) = 0.

7.7 Korollar. Voraussetzungen wie oben. Dann läßt sich das Diagramm

\xymatrix{A \ar[dr]^{f} \ar[dd]_{i} \\  & Y \\ X \ar@{.>}[ur]_{f̃}}

genau dann fortsetzen, wenn sich das Diagramm

\xymatrix{H^{n}(A; Π) \\  & H^{n}(Y; Π) \ar[ul]_{f^{∗}} \ar@{.>}[dl]^{f̃^{∗}} \\ H^{n}(X; Π) \ar[uu]^{i^{∗}}}

fortsetzen läßt.

Beweis. Betrachte exakte Sequenz

H^{n}(X, A; Π) → H^{n}(X; Π) ⟶^{i^{∗}}H^{n}(A; Π) ⟶^{δ^{∗}} H^{n+1}(X, A; Π)
f^{∗}ι^{n}(Y) ↦ δ^{∗}f^{∗}ι^{n}(Y) = (−1)^{n}γ^{n+1}(f)

es folgt also

γ^{n+1}(f) = 0 ⇔ es existiert ein u ∈ H^{n}(X; Π) mit i^{∗}u = f^{∗}ι^{n}(Y)

Nach Voraussetzung gilt aber i^{∗}f̃^{∗}ι^{n}(Y) = f^{∗}ι^{n}(Y) und somit folgt γ^{n+1}(f) = 0, also mit obigen Satz die Behauptung.

7.8 Korollar. Sei G eine abelsche Gruppe und n ∈ ℕ. Es läßt sich f : A → K(G, n) genau dann auf X forsetzen, wenn δ^{∗}f^{∗}ι^{n}(K(G, n)) = 0 ist.

Wir übertragen die Resultate nun auf Homotopien.

7.9 Definition. Seien f_{0}, f_{1} : X_{n} → Y Abbildungen mit f_{0}|A = f_{1}|A. Sei ferner

F^{n} : ∂I × X_{n} ∪ I × A → Y
F_{0}^{n} = f_{0} und F_{1}^{n} = f_{1}
F_{t}^{n}(a) = f_{0}(a) = f_{1}(a) ∀a ∈ X_{n−1}, t ∈ I

definiere nun (f_{0}, f_{1})^{∗} als Komposition

H^{q}(Y) ⟶^{(F^{n})^{∗}} H^{q}(∂I × X_{n} ∪ I × A) ⟶^{δ}

H^{q+1}(I × X_{n}, ∂I × X_{n} ∪ I × A) ⟶^{(i×)^{−1}} H^{q}(X_{n}, A)

und δ^{n}(f_{0}, f_{1}) = d̄^{n}(f_{0}, f_{1}) = (−1)^{n}(i×)^{−1}(γ^{n+1}(F^{n})). δ^{n}(f_{0}, f_{1}) heißt das primär Hindernis.

Einführung in die Hindernistheorie

7.10 Lemma. δ^{n}(f_{0}, f_{1}) = (f_{0}, f_{1})^{∗}ι^{n}(Y) Beweis.

(i×)(δ^{n}(f_{0}, f_{1})) = (−1)^{n}γ^{n+1}(F^{n}) = δf^{∗}ι^{n}(Y)
⇔δ^{n}(f_{0}, f_{1}) = \underbrace{(i×)^{−1}δf^{∗}}_{(f_{0},f_{1})^{∗}} ι^{n}(Y)

7.11 Satz. Für (f_{0}, f_{1})^{∗} gelten folgende Eigenschaften 1. (f_{0}, f_{0})^{∗} = 0

2. (f_{0}, f_{1})^{∗} + (f_{1}, f_{2})^{∗} = (f_{0}, f_{2})^{∗}

3. (f_{1}, f_{0})^{∗} = −(f_{0}, f_{1})^{∗}

4. Falls j^{∗} : H^{q}(X, A) → H^{q}(X) injektiv ist, so gilt j^{∗} ∘ (f_{0}, f_{1})^{∗} = f_{1}^{∗} − f_{0}^{∗}

5. Für g : Y → Y′ gilt (g ∘ f_{0}, g ∘ f_{1})^{∗} = (f_{0}, f_{1})^{∗} ∘ g

6. Für h : (X′, A′) → (X, A) gilt 7.12 Satz (Eilenberg Homotopie Theorem). Für alle n + 1 ≤ q < 1 + dim(X, A) sei Y q-einfach und H^{q}(X, A; π_{q}(Y)) = 0. Dann gilt

f_{0} ≃_{A} f_{1} ⇔ (f_{0}, f_{1})^{∗}ι^{n}(Y) = 0

7.13 Korollar. Sei dim(X, A) ≤ n oder Y = K(G, n) für eine abelsche Gruppe G, dann gilt

f_{0} ≃_{A} f_{1} ⇔ (f_{0}, f_{1})^{∗}ι^{n}(Y) = 0

7.14 Satz (Eilenberg Klassifikationstheorem). Sei 1. Y q-einfach für alle n + 1 ≤ q < 1 + dim(X, A)

2. H^{q}(X, A; π_{q}(Y)) = 0 für alle n + 1 ≤ q < 1 + dim(X, A)

3. H^{q+1}(X, A; π_{q}(Y)) = 0 für alle n + 1 ≤ q < 1 + dim(X, A) und f_{0} : X → Y eine Abbildung, dann ist

\frac{\{Erweiterungen von f_{0}|A\}}{Homotopie relativ A} → H^{n}(X, A; Π) f ↦ (f_{0}, f)^{∗}ι^{n}(Y)

eine Bijektion.

Literatur

Beweis. injektiv: Sei also (f_{0}, f)^{∗}ι^{n}(Y) = (f_{0}, g)^{∗}ι^{n}(Y). Es gilt (f_{0}, f)^{∗}+(f, g)^{∗} = (f_{0}, g)^{∗} und somit (f, g)^{∗}ι(Y) = 0. Also existiert eine Homotopie relativ A zwischen f und g (Voraussetzung 1+2 und letzter Satz). surjektiv: Sei d̄∈ H^{n}(X, A; Π) und sei weiter

F : {0} × X_{n} ∪ I × A → Y
F_{0} = f_{0} und F_{t}(a) = f_{0}(a) ∀a ∈ A, t ∈ I

Nach (5.3) hat F eine Fortsetzung F̃ : ∂I × X_{n} ∪ I × A → Y mit d(F̃) = d. Definiere nun f := F̃_{1}. Mit (5.1) folgt

0 = δd = δd^{n}(F̃) = c^{n+1}(f) − c^{n+1}(f_{0}|X_{n}) = c^{n+1}(f)  (∗)

da f_{0}|X_{n} mit f_{0} Fortsetzung besitzt. Nach (∗) besitzt f Erweiterung auf X_{n+1} und (mit Voraussetzung 3) Fortsetzung f̃ auf ganz X und es folgt mit d^{n}(F̃) = d

d̄= δ^{n}(f_{0}, f̃) = (−1)^{n}(f_{0}, f̃)ι^{n}(Y)

7.15 Korollar. Sei A = ∅. Unter den obigen Voraussetzungen gilt

[X, Y] ⟶^{≅} H^{n}(X; Π) f ↦ f^{∗}ι^{n}(Y)

Beweis. Wähle für f_{0} die konstante Abbildung. Da A = ∅ folgt (f_{0}, f)^{∗} = f^{∗} − f_{0}^{∗} = f^{∗} und somit die Behauptung.

7.16 Korollar. Sei X ein n-dimensionaler CW-Komplex. Dann gilt

[X, Y] ⟶^{≅} H^{n}(X; Π) f ↦ f^{∗}ι^{n}(Y)

7.17 Korollar. Sei G abelsche Gruppe und n ∈ ℕ, dann gilt

[X, K(G, n)] ⟶^{≅} H^{n}(X; G) f ↦ f^{∗}ι^{n}(Y)

Literatur

[Wh] Whitehead, George W. Elements of Homotopy Theory, Springer. (vergriffen, keine Neuauflage).