Geometrische Gruppentheorie/Geometric Group Theory

Die geometrische Gruppentheorie befasst sich mit folgenden Fragestellungen:

Kann man Gruppen als geometrische Objekte ansehen und wie hÃ¤ngen geometrische mit algebraischen Eigenschaften von Gruppen zusammen?
Allgemeiner: Auf welchen geometrischen Objekten kÃ¶nnen gegebene Gruppen sinnvoll operieren und wie hÃ¤ngen die Eigenschaften der entsprechenden geometrischen Objekte mit algebraischen Eigenschaften der Gruppen zusammen?

Zum Beispiel gibt es einen engen Zusammenhang zwischen freien Gruppen und Operationen auf BÃ¤umen; dies liefert einen eleganten Beweis der Tatsache, dass Untergruppen von freien Gruppen frei sind.

In dieser Vorlesung werden wir untersuchen, wie das Ã¼bersetzen geometrischer Begriffe wie GeodÃ¤ten, KrÃ¼mmung, Volumina etc. in die Welt der Gruppentheorie eine interessante Symbiose zwischen Geometrie und Algebra liefert.

Der genaue Inhalt der Vorlesung wird auf die Vorkenntnisse der Teilnehmer abgestimmt. Bei Bedarf wird versucht, im SS 2015 eine Fortsetzung anzubieten; diese Veranstaltung ist aber auch gut mit anderen Vorlesungen aus der Globalen Analysis kombinierbar.

Geometric group theory is concerned with the following types of questions:

Can we view groups as geometric objects? How are geometric properties of groups related to algebraic properties?
More generally: Which geometric objects admit reasonable actions by a given group? How are geometric properties of these objects related to algebraic properties of the group in question?

For example, there is a strong connection between free groups and actions on trees; this leads to an elegant proof of the fact that subgroups of free groups are free.

In this course, we will learn how to translate geometric notions such as geodesics, curvature, volume, etc. into the world of group theory, and how this translation gives rise to an interesting symbiosis of geometry and algebra.

The exact content of the course will be adapted to the background and experience of the participants. If requested, we will try to offer a continuation in SS 2015; in any case, this course can be well combined with other courses in Global Analysis.