Diophantische Geometrie I / Diophantine Geometry I

Inhaltsangabe / Literatur / empfohlene Vorkenntnisse Die diophantische Geometrie ist ein uraltes Gebiet, das ein enorme Faszination ausuebt. Es geht dabei um ganzzahlige oder rationale Loesungen von polynomialen Gleichungen. Ein beruehmtes Problem ist dabei die Fermatsche Vermutung, die viele Jahre offen blieb und erst kuerzlich von Wiles geloest wurde. Wir wollen in dieser Vorlesung andere beruehmte Resultate wie den Satz von Roth aus der diophantischen Approximation und den Satz von Mordell-Weil ueber abelsche Varietaeten beweisen. Diese beiden Saetze werden dann zu einem Beweis der Mordell-Vermutung fuehren. Dabei folgen wir dem Beweis von Vojta mit Vereinfachungen von Bombieri und nicht dem urspruenglichen Beweis von Faltings, fuer den Faltings 1986 die Fieldmedaille erhalten hat. Vorkenntnisse: algebraische Geometrie Literatur: Bombieri, Gubler: Heights in Diophantine Geometry; Hindry, Silverman: Diphantine Geometry; Lang: Fundamentals of Diophantine Geometry; Serre: Lectures on the Mordell--Weil theorem.

Content / Literature / Recommended previous knowledge Diophantine Geometry is a very old and fascinating field. It deals with entire or rational solutions of polynomial equations. A famous example is Fermat's conjecture which was open for many years until Wiles solved it recently. We will look at other famous results as Roth's theorem from diophantine approximation and as the theorem of Mordell-Weil from the theory of abelian varieties. These two theorems lead to a proof of the Mordell-conjecture. We will follow Vojta's proof with simplification of Bombieri. This proof is more elementary than the original proof of Faltings for which Faltings received the Fields medal in 1986. Required knowledge: Algebraic Geometry Literature: Bombieri, Gubler: Heights in Diophantine Geometry; Hindry, Silverman: Diphantine Geometry; Lang: Fundamentals of Diophantine Geometry; Serre: Lectures on the Mordell--Weil theorem.

Termine und Dauer von Prüfung und erster Wiederholungsprüfung 25-minütige mündliche Prüfung, Termin nach Vereinbarung bzw. für die erste Wiederholungsprüfung innerhalb von 6 Monaten nach der ersten Prüfung.