Lokal-global-Prinzipien in der Zahlentheorie / Local-global principles in number theory

Inhaltsangabe / Literatur / empfohlene Vorkenntnisse Ein ganzzahliges Polynom (in mehreren Variablen) mit einer ganzzahligen Nullstelle hat automatisch auch Nullstellen in allen endlichen Körpern: Man muss nur die gegebene Nullstelle mod p reduzieren für alle p. Die Umkehrung gilt nicht: Es gibt Polynome mit Nullstellen in allen endlichen Körpern, aber nicht in den ganzen oder den rationalen Zahlen. Ein Lokal-global-Prinzip besagt, grob gesagt, dass man aus Aussagen an allen Primstellen (lokal) Aussagen über ganze oder rationale Zahlen (global) folgern kann. In diesem Seminar werden wir Beispiele und Gegenbeispiele für solche Prinzipien behandeln. Zunächst führen wir als lokale Objekte die p-adischen Zahlen ein. Wir zeigen ein Lokal-global-Prinzip für die Existenz rationaler Nullstellen von Polynomen vom Grad 2, und sehen Gegenbeispiele für Polynome von höherem Grad. Dieser Teil des Seminars ist sehr elementar. Um systematischer zu erkennen, wann Hoffnung auf ein Lokal-global-Prinzip besteht, konstruieren wir dann die sogenannte Brauer-Manin-Obstruktion. Dies führt uns an einigen interessanten Strukturen vorbei - z.B. den Azumaya-Algebren (das sind gewisse nichtkommutative Ringe), dem Hilbert-Symbol und der Brauergruppe - die auch an anderen Stellen der Mathematik wieder auftauchen. Der Themenkreis der Lokal-global-Prinzipien bietet einen sehr leichten Einstieg, steckt aber voller offener Probleme und Anknüpfungspunkte an aktuelle Forschung.

Content / Literature / Recommended previous knowledge A polynomial with integer coefficients (in several variables) with an integer solution has automatically also solutions in all finite fields: It suffices to take an integer solution and reduce it mod p for all primes p. The converse is not true: There are polynomials with solutions in all finite fields, but not in the integers or rational numbers. A local-global principle says, roughly, that one can from statements about all the primes (local) conclude a statement about integer or rational numbers. In this seminar we will treat examples and counterexamples for such principles. First we will introduce p-adic numbers as the local objects. We will show a local-global principle for the existence of rational solutions of polynomials of degree 2 and see counterexamples for polynomials of higher degree. To recognize more systematically when one can hope for a local-global principle, we will then construct the Brauer-Manin obstruction. This will lead us to considering several intersting structures - e.g. Azumaya algebras (these are certain noncommutative rings), the Hilbert symbol and the Brauer group - which also appear at other places in mathematics. The subject of local-global principles offers easy entrance points but is full of open problems and connections to current research.