Analysis auf Mannigfaltigkeiten (Analysis IV)

Das zentrale Thema der Vorlesung sind Mannigfaltigkeiten, wie zum Beispiel Untermannigfaltigkeiten in Rⁿ, die bereits in Analysis II kurz erwähnt wurden. Man kann damit zum Beispiel die Krümmung von Kurven in der Ebene und im Raum zu beschreiben, oder die von Flächen im Raum. Die Vorlesung legt auch die Grundlagen, um viele physikalische Theorien effektiv formulieren zu können: Symmetrie-Gruppen wie SO(3), klassische Mechanik, Elektrodynamik, Allgemeine Relativitätstheorie, Eichfeldtheorie. Auch für viele innermathematische Gebiete ist das Verständnis von Mannigfaltigkeiten ein erster wichtiger Schritt: angefangen bei partiellen Differentialgleichungen, die geometrisch motiviert sind, bis hin zur Algebraischen Geometrie, die den Begriff der Mannigfaltigkeit dann verallgemeinert. Wir wollen im Sommersemester die grundlegenden Objekte kennenlernen, mit denen diese Anwendungen studiert werden können: Mannigfaltigkeiten, Tangentialräume, Vektorfelder, Differentialformen, Integration auf Mannigfaltigkeiten, Satz von Stokes, Satz von Gauß, kompakter Flächen, Satz von Gauß und Bonnet. Für einen ersten Eindruck empfehle ich u.a. das Buch von Christian Bär mit dem Titel Elementare Differentialgeometrie. Weitere Literatur in der Vorlesung. Zu Beginn der Vorlesung werden voraussichtlich noch einige Ergänzungen zur Maßtheorie gegeben, die zeitlich nicht mehr im Wintersemester behandelt werden konnten. Im Wintersemester 2015/16 biete ich eine Vorlesung Differentialgeometrie I an, die auf der Analysis auf Mannigfaltigkeiten direkt aufbaut. Empfohlene Vorkenntnisse: Analysis I bis III, Lineare Algebra I

Prüfungsbestandteile Die Prüfungsleistung zu dieser Vorlesung besteht aus einer Klausur am Ende des Semesters. Um zur Klausur zugelassen zu werden, muss man: * mindestens 50% der Punkte in den Hausaufgaben erhalten * mindestens zweimal eine eigene Lösung in den Übungsgruppen erfolgreich vorrechnen, davon mindestens einmal in der zweiten Semesterhälfte Die Klausur ist eine Modulteilprüfung oder Modulprüfung, je nach Studiengang.

Termine und Dauer von Prüfung und erster Wiederholungsprüfung Die Klausur (120 Minuten) findet am Montag 3. August statt. Ort und Uhrzeit werden auf der Analysis-IV-Seite von Klaus Kröncke bekanntgegeben. Die Nachklausur (erste Wiederholungsprüfung) findet am ???? statt.

Durchf�hrung der zweiten Wiederholungsprüfung Bei der zweiten Wiederholungsprüfung kann jeder Studierende wählen, ob er an einer der Klausuren teilnimmt, oder ob sie in Form einer mündlichen Prüfung ablegt.

Anteile der Bestandteile an der Note Die Note der Modul(teil-)prüfung ist die Note der bestandenen Klausur bzw. der mündlichen Prüfung. Die Berechung der Gesamtnote des Moduls BAn entnimmt man dem Modulkatalog.