Evolutionsgleichungen (Partielle Differentialgleichungen III)/Evolution Equations

Inhaltsangabe / Literatur / empfohlene Vorkenntnisse Es werden nichtlineare Evolutionsgleichungen, insbesondere vom parabolischen Typ, studiert. Wichtige Beispiele für Gleichungen, die behandelt werden, sind die Navier-Stokes Gleichungen, die die Bewegung einer viskosen, inkompressiblen Flüssigkeit beschreiben, und Reaktions-Diffusions-Gleichungen, wie sie in vielen Modellen der Chemie und Biologie auftreten. Im ersten Teil der Vorlesungen werden zunächst Methoden, die auf Kompaktheit, schwacher Konvergenz und Monotonie beruhen, behandelt. Insbesondere wird Existenz von schwachen Lösung der instationären Navier-Stokes-Gleichungen gezeigt. Im zweiten Teil der Vorlesung werden Methoden, die auf Linearisierung der Gleichung und dem Banachschen Fixpunktsatz basieren, vorgestellt. Dazu wird die Theorie der Operatorhalbgruppen (kurz: "Halbgruppentheorie") verwendet. Literatur: A. Lunardi, Analytic Semigroups and Reaction-Diffusion Problems, Internet Seminar 2004/05 Lecture Notes. A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer, 1992 M. Renardy und R. C. Rogers, An Introduction to Partial Differential Equations, Springer, 1993 Weitere Literatur wird auf der GRIPS-Seite der Veranstaltung bekannt gegeben. Empfohlene Vorkenntnisse: Funktionalanalysis, Partielle Differentialgleichungen I, Kenntnisse in Banachraum-wertiger Integration und Banachraum-wertigen Sobolev-Räumen sowie Sobolevsche Einbettungsätze (siehe z.B. Partielle Differentialgleichungen II des WiSe '14/'15).

Content / Literature / Recommended previous knowledge We study nonlinear evolution equations, in particular of parabolic type. Important examples, which will be treated, are the Navier-Stokes equations, which describe the motion of an incompressible and viscous fluid, and reaction-diffusion equations, which appear in many models in chemistry and biology. In the first part of the lecture series methods that are based on compactness, weak convergence and monotonicity will be treated. In particular existence of weak solutions for the instationary Navier-Stokes equations will be shown. In the second part of the lecture series methods that are based on the linearization of the equations and the contraction mapping principle will be introduced. To this end the theory of operator semi-groups ("semi-group theory") will be used. Literature: A. Lunardi, Analytic Semigroups and Reaction-Diffusion Problems, Internet Seminar 2004/05 Lecture Notes. A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer, 1992 M. Renardy und R. C. Rogers, An Introduction to Partial Differential Equations, Springer, 1993 Further information on the literature can be found on the GRIPS page of the course. Recommended previous knowledge: basic knowledge in linear functional analysis, a first course in partial differential equations ("partial differential equation I"; in particular weak solutions of elliptic equations, regularity theory), Banach space valued integration and Sobolev spaces, Sobolev embedding theorems (see e.g. course "partial differential equations II" of the winter term 2014/15)

Prüfungsbestandteile Mündliche Prüfung (ca. 25 Minuten). Eine erfolgreiche Teilnahme an den Übungen der Veranstaltung (z.B. 50% der Punkte der Übungsaufgaben und Vorstellung einer Lösung) ist Voraussetzung zur Zulassung zur Prüfung. Alternativ kann die Vorlesung zusammen mit der Vorlesung Partielle Differentialgleichungen II des WiSe 14/15 gemeinsam innerhalb einer mündlichen Prüfung von ca. 45 Minuten geprüft werden.

Termine und Dauer von Prüfung und erster Wiederholungsprüfung Die Prüfungen finden im Anschluss an die Vorlesungszeit statt. Der Termin der mündlichen Prüfung wird in Absprache mit dem Dozenten individuell vergeben. Genaueres wird auf der GRIPS-Seite der Veranstaltung bekannt gegeben.

Durchführung der zweiten Wiederholungsprüfung Die zweite Wiederholungsprüfung findet ebenfalls als mündliche Prüfungen statt. Der Termin wird individuell vergeben. Die Prüfung dauert ca. 25 Minuten bzw. ca. 45 Minuten bei der Prüfung zusammen mit Partielle Differentialgleichungen II

Bedingungen für einen unbenoteten Leistungsnachweis Erfolgreiche Teilnahme an einem Gespräch mit dem Dozenten von ca. 15 Minuten, indem der Studierende erkennen lässt, dass die wesentlichen Inhalte der Veranstaltung verstanden wurden und sie/er erfolgreich an den Übungen teilgenommen hat.