Geometrische Gruppentheorie II/Geometric Group Theory II

Themen: Geodätische Räume und Modellräume, CAT($\kappa$)-Räume, Der Satz von Cartan-Hadamard, Hyperbolische Räume und Gruppen, Eigenschaften hyperbolischer Gruppen, Ränder im Unendlichen, Isoperimetrische Ungleichungen, Die Gruppen von Grigorchuk, Die Gruppen von Thompson.

Wenn eine Gruppe in geeigneter Weise auf einem geometrischen Objekt wirkt, erbt sie von diesem gewisse „geometrische“ Eigenschaften. Geometrische Gruppentheorie ist das Studium dieser geometrischen Eigenschaften und ihres Einflusses auf algebraische Eigenschaften der Gruppe. Beispielsweise kann eine Gruppe, die in geeigneter Weise auf einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit wirkt, keine zu $\Z^2$ isomorphe Untergruppe enthalten.

Die geometrische Eigenschaft, die wir im ersten Teil der Vorlesung studieren werden ist Krümmung, genauer nicht-positive Krümmung. Wir werden zwei verschiedene, aber in Beziehung stehende Konzepte für Räume mit von oben beschränkter Krümmung einführen, nämlich CAT($\kappa$)-Räume und hyperbolische Räume. In beiden Fällen ist die zentrale Idee die Form geodätischer Dreiecke als Maß für die Krümmung zu nehmen.

Im zweiten Teil der Vorlesung werden wir einige Klassen von „ exotischen“ Gruppen behandeln, darunter die Gruppen von Grigorchuk und die Gruppen von Thompson.

Die Vorlesung ist eine Fortsetzung der Vorlesung Geometrische Gruppentheorie I aus dem Wintersemester. Für den Kurs sind keine Vorkenntnisse aus der Differentialgeometrie oder Algebraischen Topologie notwendig, aber wir werden eine Reihe von Anwendungen und Anknüpfungspunkte zu diesen erwähnen. Die Vorlesung kann daher als Vorbereitung/Ergänzung zur Differentialgeometrie und Topologie verstanden werden.

Es wird ein Skript auf der Homepage des Kurses geben.

Topics: Geodesic spaces and model spaces, CAT($\kappa$)-spaces, The Cartan-Hadamard Theorem, Hyperbolic spaces and groups, Properties of hyperbolic groups, Boundaries at infinity, Isoperimetric inequalities, Grigorchuk's groups, Thompson's groups.

When a group acts in a nice fashion on a geometric object, it will inherit certain "geometric" properties from the space it acts on. Geometric Group Theory is the study of these geometric properties and their influence on algebraic properties of the group. For instance, a group that acts nicely on a hyperbolic manifold cannot contain a subgroup isomorphic to $\Z^2$.

The geometric property that we will deal with in the first part of these lectures is curvature, and in particular non-positive curvature. We will introduce two different but related concepts of spaces with curvature bounded from above, namely CAT($\kappa$)-spaces and hyperbolic spaces, that arise naturally in geometry and will also be useful for the study of groups. The idea in both cases is to take the shape of (geodesic) triangles as a measure of curvature.

In the second part of the lectures, we will discuss several classes of "exotic" groups, in particular the groups of Grigorchuk and the groups of Thompson.

The lecture is a continuation of the course Geometric Group Theory I. For the course, no knowledge in differential geometry or topology will be assumed, but along the way we will mention several applications and relations to these fields. The course can thus also be viewed as a good preparation/companion to differential geometry and topology.

There will be lecture notes available on the course's homepage.

On demand, the lecture will be held in English.