Differentialgeometrie I/Differential geometry I

In der Vorlesung studieren wir semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten.

Die wichtigsten Beispiele sind Riemannsche Mannigfaltigkeiten, d.h. Mannigfaltigkeiten zusammen mit einer Riemannschen Metrik. Andere Beispiele sind Lorentz-Mannigfaltigkeiten, die die Raumzeit der allgemeinen Relativitätstheorie beschreiben.

Ein wichtiger Gegenstand der Vorlesung ist die Riemannsche Krümmung, die wir genau untersuchen wollen. Wir erhalten wichtige Krümmungsgrößen, wie zum Beispiel die Schnittkrümmung, die Ricci-Krümmung und die Skalarkrümmung. Eine interessante Frage ist zum Beispiel, ob es Mannigfaltigkeiten gibt, deren Ricci-Krümmung Null ist, aber deren Schnittkrümmung nicht verschwindet. Im Falle von Lorentz-Mannigfaltigkeiten bedeutet dies in der Terminologie der Physik: gibt es gekrümmte Vakuum-Lösungen der Einstein-Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie? Auf einer drei-dimensionalen Mannigfaltigkeit ist dies nicht möglich. In der allgemeinen Relativitätstheorie wird der 3-dimensionale Raum mit der Zeit zu einer 4-dimensionalen Lorentz-Mannigfaltigkeit verbunden. Auf solchen Räumen gibt es Vakuum-Lösungen der Einstein-Gleichungen. Ein Beispiel hiervon ist die Schwarzschild-Metrik, die ein nicht-rotierendes schwarzes Loch beschreibt.

Verschiedene Sätze der Vorlesung geben Auskunft darüber welche Krümmungseigenschaften auf welchen Mannigfaltigkeiten möglich sind. Kompakte Mannigfaltigkeiten mit positiver Ricci-Krümmung besitzen zum Beispiel eine endliche Fundamentalgruppe. Dies führt zu vielen interessanten Beziehungen zur Tologie. Es ist deswegen hilfreich, aber nicht nötig, wenn Sie parallel hierzu die algebraische Topologie hören.

Literaturhinweise sind auf der Webseite zu finden.

Erforderliche Vorkenntnisse: Analysis I-IV, Lineare Algebra I und II. Die Vorlesung wird im Sommersemester weitergeführt.