Variationsrechnung I

Die Variationsrechnung ist ein aktives Feld in der aktuellen Forschung mit zahlreichen Anwendungen in Physik und Technik, unter anderem in der klassischen Mechanik und Quantenmechanik, sowie in den Materialwissenschaften und der modernen Bildverarbeitung. Außerdem gibt es wichtige Schnittstellen zu verschiedenen Bereichen der Mathematik wie der Theorie partieller Differentialgleichungen, der Geometrie, Optimierung oder optimalen Steuerung. Diese Veranstaltung gibt eine Einführung in dieses mathematische Teilgebiet, das seine Wurzeln im 18. Jahrhundert hat. Typischerweise trifft man auf Fragestellungen, die sich als Minimierungsprobleme der Form min{I(u): u ∈ D ⊂ X} formulieren lassen, wobei X ein (unendlich-dimensionaler) Funktionenraum und die Abbildung I:X→ R ein Funktional ist. In wichtigen Spezialfällen hat I Integralgestalt und kann je nach Anwendung als Wirkung oder Energie interpretiert werden. Ziel der Variationsrechnung ist es also, in einer Klasse von zulässigen Funktionen D, diejenigen zu finden und zu charakterisieren, die ein gewisses Funktional I minimieren.
Im ersten Teil der Vorlesung beschäftigen wir uns mit dem klassischen Zugang zur Variationsrechnung, der von der Existenz von Minimieren für I ausgeht und mit dessen Hilfe man notwendige und hinreichende Bedingungen für Minimierer bekommt. Durch Berechnung der Nullstellen der ersten Variation ("Ableitung'') von I, was im Fall von Integralfunktionalen dem Lösen spezieller partieller Differentialgleichungen, den sogenannten Euler-Lagrange Gleichungen, gleichkommt, erhält man alle kritischen Punkte. Deren Eigenschaften können durch Analyse der zweiten Variation des Funktionals I weiter spezifiziert werden. Dass die Existenz von Lösungen für Variationsprobleme nicht immer gegeben sein muss, zeigt das berühmte Gegenbeispiel von Weierstraß aus dem Jahr 1869. Die direkte Methode der Variationsrechnung, die wir im zweiten Teil dieser Vorlesung behandeln, liefert Existenz von Minimierern von I in X (versehen mit einer geeigneten Topologie), falls Minimalfolgen in X relativ folgenkompakt sind und I unterhalbfolgenstetig ist. Im Fall von Integralfunktionalen interessieren wir uns für notwendige und hinreichende Bedingungen an die Integranden, die genau dies garantieren, was uns schließlich zur Diskussion verallgemeinerter Konvexitätsbegriffe führt.

Themenübersicht:

Modellierung von Variationsproblemen und Beispiele
Begriff der Variation, Gâteaux- und Fréchet-Differenzierbarkeit
Euler-Lagrange Gleichungen, Fundamentallemma der Variationsrechnung
Legendre-Hadamard Bedingung
funktionalanalytische Existenzsätze
Koerzivitätsbedingungen für Integralfunktionale
schwache Unterhalbstetigkeit von Integralfunktionalen
verallgemeinerte Konvexitätsbegriffe

Eine ausführliche Literaturliste wird in der Vorlesung bekannt gegeben.

Empfohlene Vorkenntnisse: Funktionalanalysis, Partielle Differentialgleichungen I.

Die Vorlesung wird im Sommersemester 2016 durch die Veranstaltung Variationsrechnung II mit Themen wie Relaxierung, Young Maßen, Γ-Konvergenz und Homogenisierung fortgesetzt.
Im Anschluss daran können Masterarbeiten am Lehrstuhl VI vergeben werden.