Interpolation Theory and Function Spaces

Inhaltsangabe / Literatur / empfohlene Vorkenntnisse Die Interpolationstheorie von Banachräumen beschäftigt sich mit dem Studium und der Konstruktion von Banachräumen X, die zwischen zwei gegeben Banachraumen X_0 , X_1 liegen. Dabei ist wesentlich, das lineare Operatoren, die beschränkt auf X_0, X_1 sind, zu beschränkten Operatoren auf den Zwischenraum X fortgesetzt werden können (mit passenden Normabschätzungen). Die Konstruktion von solchen Zwischenräumen ist eng mit der Konstruktion von Räumen von Funktionen mit gebrochener Regularität verbunden. Z.B. werden Räume von Funktionen gesucht, die zwischen den klassischen Sobolevräumen liegen. In der Vorlesung wird eine kurze Einführung in die Interpolationstheorie von Banachr ̈aumen gegeben und die beiden wichtigsten Interpolationsmethoden zur Konstruktion von Zwischenräumen behandelt. Darauf basierend wird eine kurze Einführung in die Theorie der Funktionenräume gegeben. Es werden die sogenannten Besselpotential und Besov-Räume eingeführt, die die klassischen Sobolevräume und Räume Hölder-stetiger Funktionen verallgemeinern. Interpolationstheorie und Erkenntnisse aus der Theorie der Funktionenräume sind zu einem wichtigen Hilfsmitteln in der Analysis geworden. Dies gilt insbesondere für das Gebiet der partiellen Differentialgleichungen, aber auch der Approximationstheorie und der numerischen Analysis. Literatur: Eigenes Skript sowie: J. Bergh and J. L ̈ofström. “ Interpolation Spaces”, Springer, 1976 A. Lunardi. “Interpolation Theory”, Pisa : Scuola Normale Superiore, 1999 Empfohlene Vorkenntnisse: (Lineare) Funktionalanalysis und Grundkenntnisse in Sobolev und Lebesgue/L^p-Räume (wie z.B. in der Vorlesung "Partielle Differentialgleichungen I" vermittelt wird)

Content / Literature / Recommended previous knowledge We will give a brief introduction to the interpolation theory of Banach spaces, which deals with the contruction of Banach spaces X between two given (admissible) Banach spaces X_0 and X_1 such that all linear operators between these spaces extend to a suitable linear operator on X (with suitable norm estimates). In particular, we look for spaces between classical Sobolev spaces and spaces of Hölder continuous functions. Nowadays the interpolation theory of Banach spaces is an important tool in functional analysis, harmonic analysis, the regularity theory for partial differential equations and the theory of function spaces. Moreover, there are applications to approximation theory and even numerical analysis. Literature: Own lecture notes as well as: J. Bergh and J. Löfström. “ Interpolation Spaces”, Springer, 1976 A. Lunardi. “Interpolation Theory”, Pisa: Scuola Normale Superiore, 1999 Recommended previous knowledge: (linear) functional analysis and basic knowledge on Sobolev and Lebesgue spaces (as e.g. contained in the lecture series "Partial Differential Equations I")