Bachelorseminar, Seminar in Bachelor oder Master: Optimierung

Ihr Unternehmen verfügt über eine Fabrik, ein Lagerhaus und einen Kundenstamm der eine feste Menge ihres Produktes nachfragt. Diesen wollen Sie natürlich nicht verärgern und ausreichend produzieren, auf der anderen Seite wollen Sie Ihre Kosten beispielsweise für die Lagerung des Inventars ihres Lagerhauses möglichst minimieren. Wie groß sollte die Produktionsmenge Ihrer Fabrik in den nächsten Wochen sein, wenn in Ihrem Lager noch Bestände vorhanden sind? Bei Optimierungsproblemen dieser Art ist das Ziel nicht nur den minimalen Wert der Kosten zu bestimmen, sondern auch den Minimierer, in diesem Fall die optimal Steuerung der Produktionsmenge. Mathematisch ist zunächst eine passende Formalisierung des Problems zu finden. Dies wird uns in diesem Seminar auf die das Prinzip der dynamischen Programmierung führen. Wir werden dessen Verbindung mit Pontryagin's Maximumprinzip verstehen und einige Techniken der Variationsrechnung kennenlernen. Dabei werden wir sehen, dass die mathematische Formulierung des Minimierungsproblems entscheidend für die Existenz von Lösungen sein kann. In unserem Kontext werden wir uns insbesondere mit dem Begriff der viskosen Lösung als eine Formulierungsvariante auseinandersetzen. Die Methoden, die wir für deterministische Probleme kennenlernen, lassen sich auch auf Steuerungsprobleme anwenden, die stochastische Größen beinhalten. Dies führt auf die optimale Steuerung von Markovprozessen. Derartige Probleme ergeben sich ganz natürlich im Bereich der Finanzmathematik. Modelliert man Aktienpreise durch Markovprozesse, beispielsweise als geometrische Brownsche Bewegungen, so lässt sich die Anzahl der Aktien, welche man in seinem Portfolio hält, als Steuerung auffassen. Dieser Teil des Seminars bietet ausreichend Anspruch für interessierte Studierende des Masterstudiengangs. Empfohlene Teilnahmevorraussetzungen: Analysis I-III, Kenntnisse aus der Funktionalanalysis und Partielle Differentialgleichungen werden die mathematische Formulierung vertrauter erscheinen lassen, Techniken und Methoden daraus sind jedoch nicht notwendig. Für spätere Themen mit stochastischen Größen: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Die Schwierigkeit der Vorträge variiert je nach gewünschter Anrechnung (Bachelorseminar, Seminar im Bachelor, Masterseminar etc).