Differentialgeometrie II/Differential Geometry II

Diese Vorlesung setzt die von Prof. Bernd Ammann im Wintersemester 2015/16 gehaltene Vorlesung Differentialgeometrie I fort. Das Ziel der Vorlesung ist die in der Differentialgeometrie I erworbenen Kenntnisse zu erweitern, weitere Anwendungen davon zu sehen und neue Techniken kennenzulernen. Im ersten Teil der Vorlesung werden weitere Ergebnisse der Riemannschen Geometrie vorgestellt, insbesondere den Zusammenhang zwischen Geometrie und Topologie. Wir untersuchen, wie schnell Bälle, als Funktion des Radius, wachsen und betrachten das analoge Wachstumverhalten der zugehörigen Fundamentalgruppe. Es wird ein vielfaltiges Beispielvorrat an Riemannschen Mannigfaltigkeit eingeführt, nämlich die symmetrischen und die homogenen Räume. Dazu gibt es auch einen Abschnitt über Lie-Gruppen und deren zugehörigen Lie-Algebren. Beim Studium von Gruppenwirkungen auf Mannigfaltigkeiten spielen Hauptfaserbündel, auch Prinzipalbündel genannt, Zusammenhänge und Krümmung eine große Rolle. Diese ermöglichen den Zugang zu wichtigen Gebieten, wie z.B. Holonomie und Spin-Geometrie. Die Studierenden werden mit der Kodierung von geometrischen Strukturen durch Bündel vertraut. Der zweite Teil der Vorlesung beschäftigt sich mit Mathematischer Relativitätstheorie, Elektrodynamik und Yang-Mills-Theorien. In der Relativitätstheorie werden die geometrischen Eigenschaften von Raum und Zeit durch ein einziges Objekt, eine Lorentzschen Mannigfaltigkeit, beschrieben. Der Unterschied zu einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ist, dass die Bilinearform nicht mehr positiv-definit ist, sondern von Signatur (1,n-1). Auf diesen Mannigfaltigkeiten werden die physikalischen Feldgleichungen z.B. der Elektrodynamik beschrieben. Diese haben die Form von Yang-Mills-Theorien, für welche man das im ersten Teil gelernte Prinzipalbündel- Kalkül benutzen kann. Schlussendlich wird dann auch die Metrik zu einer dynamischen Variable, die bestimmten Feldgleichungen, den Einstein-Gleichungen, folgt. Der zweite Teil wird folgendermaßen gegliedert sein: 1. Grundlegendes über Lorentzmannigfaltigkeiten und Kausalität 2. Cauchyflächen, Zeitfunktionen, analytische Bedeutung für symmetrisch-hyperbolische Systeme, Yang-Mills-Theorien 3. Geodätische: Existenz einer maximalen Geodätischen für kausal relationierte Punkte, Limit Curve Lemma, Beispiele für (Un-)Vollständigkeit und Maximalität 4. Die Schwarzschild-Raumzeit, ihre Erweiterungen und ihre Eindeutigkeit (Birkhoff-Theorem) 5. Energiebedingungen für Materiemodelle und Singularitätentheoreme. Literatur: 1. C. Bär, Lorentzgeometrie-Skript, 2006. 2. J. Beem, P. Ehrlich, K. Easley, Global Lorentzian Geometry, CRC Press, 1996. 3. A. Besse, Einstein Manifolds, Springer Verlag, 2008, reprint of the 1987 edition. 4. J. Cheeger, D. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry, AMS Chelsea Publishing, 2008. 5. M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1982 and its reprints. 6. S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry, 2004. 7. J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Spinger Verlag, 2011. 8. S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, vol. 1 and 2, Interscience (Wiley), New York, 1963 and its reprints. 9. O'Neill, Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity, Academic Press, 1983. Empfohlene Vorkenntnisse: Analysis I-IV und Differentialgeometrie I.