Seminar: Dynamische Systeme / Seminar: Dynamical Systems

Inhaltsangabe / Literatur / empfohlene Vorkenntnisse Die mathematische Modellierung zeitabhängiger Prozesse in den Naturwissenschaften Physik, Biologie und Chemie führt in vielen Fällen auf Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Sind diese Differentialgleichungssysteme eindeutig lösbar, so definiert deren Lösung ein sogenanntes dynamisches System, welches die Dynamik, also den zeitlichen Verlauf, des zugrundeliegenden Prozesses eindeutig beschreibt. Das Ziel dieses Seminars ist es, das qualitative Verhalten von dynamischen Systemen eingehend zu untersuchen. Insbesondere sind die folgenden Themengebiete von Interesse: 1. Stabilitätstheorie I (Prinzip der linearisierten Stabilität und Dynamik von Viren) 2. Invariante Mengen (Subtangentialbedingung, Konvexe mengen, Epidemie-Modelle) 3. Stabilitätstheorie II (Methode von Lyapunov, Limesmengen, Invarianzprinzip von LaSalle, Mathematische Genetik, Chemische Reaktionssysteme) 4. Ebene (2 dimensionale) Systeme (Poincaré-Bendixson-Theorie, Periodische Lösungen, Biochemische Oszillationen) 5. Invariante Mannigfaltigkeiten (Sattelpunkte, Travelling waves für Reaktions-Diffusionsgleichungen) 6. Stabilitätstheorie III (Normale und hyperbolische Stabilität, Teilchen im Potentialfeld) 7. Periodische Lösungen (Floquet-Theorie und orbitale asymptotische Stabilität) 8. Verzweigungstheorie (Umkehrpunkte, Pitchfork- und Hopf-Verzweigung, Hamilton‘sche Systeme, Chemische Reaktionstechnik) Jeder Teilnehmer hält einen ca. 90 minütigen Vortrag. Zusätzlich ist eine schriftliche Ausarbeitung zu erstellen. Das Seminar richtet sich sowohl an Bachelor- und Master-Studenten als auch an Studierende der Lehramtsstudiengänge. Die folgenden Bücher dienen als Grundlage für das Seminar: 1. Jan Prüß, Mathias Wilke: Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme, Birkhäuser, 2010. 2. Herbert Amann, Gewöhnliche Differentialgleichungen, de Gruyter, 1995. 3. Jan Prüß, Roland Schnaubelt, Rico Zacher: Mathematische Modelle in der Biologie, Birkäuser, 2008.

Content / Literature / Recommended previous knowledge In many cases, the mathematical modelling of time-dependent processes in Physics, Biology and Chemistry leads to systems of ordinary differential equations. Under the assumption that these systems are uniquely solvable, their solution defines a so-called dynamical system, which describes the dynamic, i.e. the temporal evolution of the underlying process in a unique way. It is the aim of this seminar to study the qualitative properties of dynamical systems. In particular, the following topics are of interest: 1. Stability theory I (Principle of linearized stability, Virus dynamics) 2. Invariant sets (subtangential condition, convex sets, Epidemic models) 3. Stability theory II (Method of Lyapunov, Limit sets, Invariance principle of LaSalle, mathematical genetics, chemical reactions) 4. Two dimensional systems (Poincaré-Bendixson theory, periodic solutions, biochemical oszillations) 5. Invariant Manifolds (Saddle points, Travelling waves reaction-diffusion equations) 6. Stability theory III (Normal and hyperbolic Stability, particles in potential fields) 7. Periodic solutions (Floquet theory und orbital asymptotic stability) 8. Bifurcation theory (Turning points, Pitchfork- und Hopf bifurcation, Hamiltonian systems, chemical reactions) Each participant has to give a talk of approximately 90 minutes. In addition, a written summary / documentation is mandatory. The seminar is addressed to Bachelor and Master Students as well as to students of a teaching program. The following books serve as a basis to this seminar: 1. Jan Prüß, Mathias Wilke: Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme, Birkhäuser, 2010. 2. Herbert Amann, Ordinary differential equations, de Gruyter, 1995. 3. Jan Prüß, Roland Schnaubelt, Rico Zacher: Mathematische Modelle in der Biologie, Birkäuser, 2008.