Lokale Klassenkörpertheorie / Local Class Field Theory

Inhaltsangabe / Literatur / empfohlene Vorkenntnisse Die gesamte Arithmetik eines Körpers spiegelt sich in seiner absoluten Galoisgruppe wieder. So haben wir in der Algebra gesehen, dass die Lösungen von polynomialen Gleichungen zu ihren Galoisgruppen korrespondieren (Hauptsatz der Galoistheorie). Weiterhin weiß man, dass sich die konkreten Lösungsformeln für solche Gleichungen (im Falle der Existenz) in der Struktur der Galoisgruppen wiederfinden. Solche Korrespondenzen hören aber hier noch lange nicht auf. Galoisgruppen kodieren noch wesentlich mehr Informationen über die Erweiterungen des Körpers. Beispielsweise lässt sich das Zerlegungs- und Verzweigungsverhalten von Primzahlen/-idealen in Körpererweiterungen durch zugeordnete Galoisgruppen beschreiben. Eins der großen Ziele der algebraischen Zahlentheorie ist es nun die Struktur der absoluten Galoisgruppe zu verstehen und diese mit arithmetischen Informationen des Grundkörpers in Zusammenhang zu bringen. Eine solche Theorie nennt sich Klassenkörpertheorie. Und in diesem Seminar entwickeln wir die Klassenkörpertheorie von abelschen Erweiterungen von lokalen Körpern (wie Q_p). Dazu wiederholen wir die Theorie lokaler Körper und entwickeln als wesentliches Hilfsmittel die Kohomologietheorie von endlichen Gruppen. Literatur: J.S. Milne, Class field theory, Skript, http://jmilne.org/math/CourseNotes/CFT.pdf. J. Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer. J. Neukirch (A. Schmidt, Hgb.), Klassenkörpertheorie, Springer, https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~schmidt/Neukirch/index.html. Vorkenntnisse: Algebra. Vorkenntnisse in Lokalen Körpern (z.B. aus Algebraische Zahlentheorie) ist hilfreich aber nicht zwingend notwendig.

Content / Literature / Recommended previous knowledge The whole arithmetic of a field is encoded in its absolute Galois group. For instance, the main theorem of Galois theory gives us a correspondence between polynomial equations and its Galois group. Furthermore, the formula of its solutions (in case of existence) can be read off the structure of its Galoisgroup. But the story does not end here. There is much more information about its field extensions hidden in the Galois group. For example the splitting-, inertia and ramification behaviour of prime numbers/ideals can be described in terms of Galois groups. So one of the goals of algebraic number theory is to understand the structure of the absolute Galois group and connect it to arithmetic information of the base field and vice versa. Such a theory is called Class Field Theory. In this seminar we will develop the class field theory of abelian extensions of local fields (like Q_p). References: J.S. Milne, Class field theory, script, http://jmilne.org/math/CourseNotes/CFT.pdf. J. Neukirch, Algebraic Number Theory, Springer. J. Neukirch (A. Schmidt, ed.), Class Field Theory - The Bonn Lectures, Springer, https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~schmidt/Neukirch-en/index-de.html. Previous Knowledge: Algebra. Experience with local fields is helpful but not necessary.

Prüfungsbestandteile Vortrag, schriftliche Ausarbeitung; je nach zutreffendem Modulkatalog ist der Vortrag eine Studienleistung. Giving a presentation, writing a detailed report; depending on the applicable Modulkatalog the presentation is a Studienleistung.