Central Simple K-Algebras/ Zentraleinfache K-Algebren

Das Thema ist die perfekte Folgeveranstaltung für lineare Algebra, kommutative Algebra und Algebra. Es ist auch eine gute Ergänzung zur Zahlentheorie. Das Seminar ist dem Studium der (endlich dimensionalen) nicht-kommutativen Algebren gewidmet. Wir werden klassische Theoreme der Algebra wie Burnside's Theorem, Wedderburn's Theorem und Schur's Lemma beweisen. Wir wollen verstehen, wie zentraleinfache Algebren aus Divisionsalgebren (nicht-kommutativen Körpern) aufgebaut sind und wie Divisionsalgebren aussehen. Das berühmteste Beispiel sind wohl die Hamiltonschen Quaternionen H: H ist vier dimensional über den reellen Zahlen mit der Basis 1, i, j, ij, wobei i^2=-1, j^2=-1 und ji=-ij gilt. Schließlich betrachten wir noch die Brauer-Gruppe des Körpers K, welche weiß, wie viele verschiedene endlich dimensionale Divisionsalgebren es über dem Körper K gibt. Sie ist eine sehr wichtige arithmetische Invariante des Körpers K. Vorbesprechung ist am Mittwoch 6.7.2016 um 16:00 s.t. in H32 Das Seminar findet montags 14 - 16 Uhr im M101 statt. This topic is a perfect sequel for linear algebra, commutative algebra and algebra. It is also a good supplement for number theory. The seminar is devoted to the study of (finite dimensional) non-commutative algebras. We are going to prove classic theorems in algebra such as Burside's theorem, Wedderburn's theorem, Schur's lemma. We want to understand how central simple algebras are built up by division algebras (non-commutative fields) and how division algebras look like. The most iconic example are the Hamiltonian quaternions H: H is of dimension 4 over the reals with basis 1, i, j, ij obeying the relations i^2=-1, j^2=-1, ij=-ji. In the end we could have a look at the Brauer-group of K, which knows how many finite dimensional division algebras there are over a field K. This is a very important arithmetic invariant of the field K. The first meeting will be Wednesday 6.7.2016 16:00 s.t. in H32 The seminar will be Monday 14:00 - 16:00 in M101.