Einführung in die Kähler-Geometrie

Kähler-Geometrie ist ein faszinierendes aktuelles Forschungsgebiet der Mathematik, als Schnitt zwischen den Riemannschen, symplektischen und komplexen Geometrie.
Die Kähler-Mfk. sind sowohl in der Differentialgeometrie und Algebraischen Geometrie, als auch in der theoretischen Physik untersucht.

Das Ziel dieser Vorlesung ist es, eine zugängliche Einführung in diesem Gebiet zu geben. Im Wesentlichen werden wir die zwei sehr schöne Bücher von A. Moroianu, [3],
und W. Ballmann, [1], folgen und sie vor allem mit [2] ergänzen. Der Inhalt der Vorlesung ist folgendes:

Komplexe Mannigfaltigkeiten (Definition, holomorphe Funktionen, Zerlegung der Formen, Beispiele, dd_c-Lemma , Hermitesche Vektorbündel, Krümmung)
Kähler-Mannigfaltigkeiten (Definition, äquivalente Beschreibungen, Holonomie, Killing-Vektorfelder, Krümmungs-Eigenschaften, Beispiele)
Kohomologie von Kähler-Mfk. (Laplace-Operator auf Kähler-Mfk., die Lefschetz-Abbildung, die Hodge- und Dolbeault-Zerlegung, Serre-Dualität, globales dd_c-Lemma)
Kähler-Einstein Metriken (Chern-Klassen, Ricci-Krümmung auf Kähler-Mfk., Calabi-Yau Theorem, Aubin-Yau Theorem, holomorphe Vektorfelder auf Kähler-Einstein-Mfk.)
Kodaira Verschwindungs- und Einbettungssatz (Weitzenböck-Formel, Verschwindungssätze, Anwendungen)

Für den letzten Teil der Vorlesung werden wir zwischen verschiedenen möglichen weiteren Richtungen wählen, je nach Interesse der Teilnehmer.
Vorschläge dafür wären folgende: extremale Kähler Metriken, die Formalität von Kähler-Mfk., andere verwandte Geometrien: symplektische Mfk. (z.B. Reduktionstheorem auch für Kähler Mfk.),
Hyper- und Quaternionsch-Kähler Mfk., Sasaki Mfk. und deren Beziehung zu Kähler-Mfk., Spin-Geometrie auf Kähler-Mfk.

If wished by the audience, the lecture and the exercise session could be also hold in English.

Literatur:

W. Ballmann, Lectures on Kähler manifolds, European Mathematical Society, Zürich, 2006.
(http://people.mpim-bonn.mpg.de/hwbllmnn/archiv/kaehler0609.pdf)
P. Griffith, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley, New York, 1978.
A. Moroianu, Lectures on Kähler geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 2007.
(http://www.math.polytechnique.fr/~moroianu/tex/kg.pdf)

Weitere Literatur wird in der Vorlesung angegeben.