Seminar zum h-Kobordismus-Satz

Ein Bordismus ist eine (differenzierbare) kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand M, so dass M die disjunkte Vereinigung von zwei Mannigfaltigkeiten M₁ und M₂ ist. Angenommen die Inklusionen M₁ → W und M₂ → W sind Homotopie-Äquivalenzen. Der h-Kobordismus-Satz besagt dann, dass dann W diffeomorph zu einem Zylinder M₁ x [0,1] ist. Das Hauptziel des Seminars ist es, diesen Satz zu beweisen.

Wir zeigen auch wichtige Anwendungen, unter anderem die Poincaré-Vermutung in höheren Dimensionen: Jede einfach zusammenhängende kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ohne Rand der Dimension n ≥ 5 mit der ganz-zahligen Homologie einer Sphäre ist bereits homöomorph zu einer Sphäre. Man erhält sogar Diffeomorphie im Fall n=5 und n=6, aber es gibt Mannigfaltigkeiten die zwar homöomorph, aber nicht diffeomorph zu einer Sphäre der Dimension 7 sind.

Weitere interessante Anwendungen findet man im Kapitel 9 des Buches von Milnor Lectures on the h-cobordism theorem.

Eine der wichtigsten Methoden des Buches ist, Morse-Funktionen auf dem Bordismus zu vereinfachen. Derartige Techniken sind auch wichtig, um zum Beispiel zu zeigen, dass jede einfach zusammenhängende kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ohne Rand der Dimension n ≥ 5 genau dann eine riemannsche Metrik mit positiver Skalarkrümmung trägt, wenn es keine indextheoretische Obstruktion gibt.

Das Programm des Seminars wird zu knapp zwei Dritteln vom Beweis des h-Kobordismus-Satzes geprägt. Der restliche Teil des Programms wird voraussichtlich im August festgelegt.