Partielle Differentialgleichungen III: Probleme mit freiem Rand und geometrische Differentialgleichu

In vielen Problemstellungen ist die Geometrie des Gebietes, auf dem eine partielle Differentialgleichung gelöst werden soll a priori unbestimmt. In einem solchen Fall spricht man von einem Problem mit freiem Rand. In der Vorlesung werden zunächst einige typische Probleme mit freiem Rand vorgestellt und erste analytische Resultate gezeigt. Dabei wird sich herausstellen, dass , die sich ergebenden analytischen Formulierungen häufig geometrische partielle Differentialgleichungen beinhalten. Deshalb wird das Studium von geometrischen partiellen Differentialgleichungen einen großen Teil der Vorlesung ausmachen. Themengebiete: Hindernisproblem, Stefan Problem, Phasenfeldgleichungen, Cahn-Hilliard Gleichung, Freie Oberflächen in der Strömungsmechanik, $\Gamma$-Limes der Ginzburg-Landau Energie, Oberflächen- und Willmoreenergien, Geometrische Evolutionsgleichungen, Partielle Differentialgleichungen auf Flächen. Literatur: Deckelnick, K., Dziuk, G., Elliott, C., Computation of geometric partial differential equations and mean curvature flow. Acta Numer. 14 (2005), 139-232. Eck, C., Garcke, H., Knabner, P., Mathematische Modellierung, Springer 2011. Friedman, A., Variational Principles and Free-Boundary Problems, Wiley 1982. Giusti, E., Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variations, Birkhäuser 1984. Gurtin, M.E., Thermomechanics of evolving phase boundaries in the plane, Clarendon 1993. Kinderlehrer, D., Stampacchia, G., An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press 1980. Mantegazza, C., Lecture Notes on Mean Curvature Flow, Birkhäuser 2011. Vorkenntnisse: Funktionalanalysis, Partielle Differentialgleichungen I, II.