Differentialgeometrie I/Differential Geometry I

Ein großer Teil der Vorlesung wird sich mit riemannschen Mannigfaltigkeiten beschäftigen, also Mannigfaltigkeiten, auf denen Längen und Winkel gemessen werden können. Beispiele sind Untermannigfaltigkeiten von Rⁿ, Lie-Gruppen, und Quotienten davon. Wir interessieren uns vor allem für die Krümmung dieser Räume. Um diese Krümmung effektiv zu studieren, definiert man einen Tensor, den Riemannschen Krümmungstensor. Hieraus leitet man die Schnittkrümmung, die Ricci-Krümmung und die Skalarkrümmung her. Wir werden Hindernisse für die Existenz von Metriken mit positiver Schnittkrümmung, positiver Ricci-Krümmung, negativer Krümmung und weiteren Variationen finden. Durch Änderung von ein paar Vorzeichen enthält man eine semi-riemannsche Mannigfaltigkeit. Dieser Begriff ist das zentrale Objekt der Relativitätstheorie. Die Einsteinschen Gleichungen sind Gleichungen an die Ricci-Krümmung, und eine Vakuum-Lösung der Einstein-Gleichung ist eine semi-riemannsche Mannigfaltikeit mit konstanter Ricci-Krümmung. Vorkenntnisse: Analysis 1,2 Lineare Algebra 1,2, sowie mindestens eine der Veranstaltungen Analysis 4 oder Geometrie LA Gym