Einfuehrung in die Variationsrechnung

Die Variationsrechnung ist ein aktives Feld in der aktuellen Forschung mit zahlreichen Anwendungen im Bereich der Mathematik bis hin zu Materialwissenschaften und moderner Bildverarbeitung. Diese Veranstaltung bietet eine erste Einfuehrung in dieses spannende Teilgebiet der Mathematik, das sich, motiviert durch Fragestellungen in der Physik und Geometrie, im 18. Jahrhundert entwickelt hat und sich mit der Minimierung von Funktionalen beschaeftigt. Im Fokus des Seminars stehen eindimensionale Variationsprobleme, d.h., es werden Funktionen einer reellen Variablen gesucht, die eine optimale Eigenschaft habe. Fuer fortgeschrittenere Studenten stehen auch Themen zur Variationsrechnung mehrerer Variablen zur Verfuegung. Wir beginnen mit der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichung, die Einblick in den Zusammenhang zwischen Minimierern und den Loesungen gewoehnlicher Differentialgleichungen gibt. Weitere notwendige Bedingungen fuer Minimierer liefert eine genaue Analyse der zweiten Variation. Ausserdem beschaeftigen wir uns mit der Regularitaet von Minimierern und diskutieren Variationsprobleme mit verschiedenen Nebenbedingung. Zur Veranschaulichung der Konzepte dienen Beispiele mit historischem Hintergrund, wie das Problem der Dido und das Brachystochrone-Problem. Im zweiten Teil des Seminars geht es um die Frage nach der Existenz von Minimierern, die uns zur direkten Methode der Variationsrechnung fuehrt. Die meisten Vortraege folgen H. Kielhoefer, Variationsrechnung, Vieweg+Teubner, 2010