Algebraische Topologie I -- elementare Homotopietheorie/Algebraic Topology I -- elementary homotopy theory

Die algebraische Topologie studiert topologische Räume mithilfe algebraischer Invarianten. Dabei werden bestimmte Aspekte topologischer Räume in der Algebra, z.B. durch Gruppen und Gruppenhomomorphismen, modelliert. Klassische Beispiele sind die sogenannten Homotopiegruppen bzw. (Ko)Homologietheorien.
Hopf fibration

Die algebraische Topologie hat eine Vielzahl von Anwendungen, sowohl in der theoretischen als auch in der angewandten Mathematik, z.B. durch Fixpunktsätze oder (Nicht)Einbettbarkeitsresultate. So beruht etwa Nashs Beweis für die Existenz gewisser Gleichgewichte in der Spieltheorie auf einem topologischen Argument.

Inhalt der Vorlesung sind:

Was ist algebraische Topologie?
Fundamentalgruppe und Überlagerungstheorie
Höhere Homotopiegruppen und ihre grundlegenden Eigenschaften
Klassifizierende Räume
Ausblick in die stabile Homotopietheorie

Die Vorlesung wird im Studienjahr 2013/14 durch die Vorlesungen Algebraische Topologie II und Algebraische Topologie III fortgesetzt, in denen insbesondere singuläre und zelluläre (Ko)Homologie und (Ko)Homologie von Mannigfaltigkeiten behandelt werden. Diese Vorlesungen benötigen keine Vorkenntnisse aus der Algebraischen Topologie I (bzw. die nötigen Vorkenntnisse werden dann entsprechend kurz wiederholt).

On request, this course can be held in English

Algebraic topology studies topological spaces via algebraic invariants -- by modelling certain aspects of topological spaces in the realm of algebra, e.g., by groups and group homomorphisms. Classical examples include homotopy groups and (co)homology theories. Algebraic topology has various applications, both in theoretical and in applied mathematics, for instance, through fixed point theorems and (non-)embeddability results. For example, Nash's proof of existence of certain equilibria in game theory is based on a topological argument. Topics covered in this course include: What is algebraic topology?, fundamental groups and covering theory, higher homotopy groups and their basic properties, classifying spaces, outlook: stable homotopy theory. This course will be continued in the year 2013/14 with the courses "Algebraic Topology II" and "Algebraic Topology III", where singular and cellular (co)homology and (co)homology of manifolds will be studied. These courses do not require the contents of "Algebraic Topology I" (all necessary material will be briefly reviewed when needed).