Die Variationsrechnung ist ein aktives Feld in der aktuellen Forschung mit wichtigen Schnittstellen zu verschiedenen Bereichen der Mathematik (Theorie partieller Differentialgleichungen, Geometrie, Optimierung, Optimale Steuerung, ...) und einer Vielzahl von Anwendungen in Physik und Technik (Klassische Mechanik, Quantenmechanik, Materialwissenschaften, Bildverarbeitung,...).
Diese Veranstaltung gibt eine Einführung in dieses mathematische Teilgebiet, das seine Wurzeln im 18. Jahrhundert hat, und sich mit der Minimierung bzw. Maximierung von Funktionalen beschäftigt. Das Ziel ist es, in einer Klasse von zulässigen Funktionen, diejenigen mit einer optimalen Eigenschaft zu finden und zu charakterisieren. Die untersuchten Optimalitätskriterien haben oft Integralgestalt und können je nach Anwendung beispielsweise als Wirkungs- oder Energiefunktionale interpretiert werden.
Der klassische oder indirekte Zugang zur Variationsrechnung geht von der Existenz von Extremstellen aus. Durch Bestimmen der Nullstellen der ersten Variation („Ableitung“) des Funktionals, was dem Lösen der Euler-Lagrange Gleichungen gleichkommt, erhält man alle kritischen Punkte, unter denen dann nach Analyse der zweiten Variation die Minimierer bzw. Maximierer ausgewählt werden.
Dass die Existenz von Lösungen für Variationsprobleme nicht immer gegeben sein muss, zeigt das berühmte Gegenbeispiel von Weierstraß. Die direkten Methoden der Variationsrechnung, auf denen der Schwerpunkt dieser Vorlesung liegt, liefern Existenz von Minimierern, falls bezüglich einer geeigneten Topologie Minimalfolgen kompakt sind und das Integralfunktional unterhalbstetig ist. Letzteres ist unter gewissen Wachstumseigenschaften äquivalent zur Quasikonvexität des Integranden. Für nicht-quasikonvexe Probleme gibt die Betrachtung des relaxierten Problems Information über Zustände niedriger Energie. Mittels Youngscher Maße lässt sich das „makroskopische“ Verhalten von oszillierenden Minimalfolgen erfassen und ein verallgemeinerter Lösungsbegriff für Variationsprobleme definieren, die keine klassischen Lösungen besitzen.
Nach einem kurzen Exkurs in die Regularitätstheorie, die eine Brücke zwischen direkten und indirekten Methoden schlägt, lernen wir im letzten Teil der Vorlesung einen Konvergenzbegriff für parameterabhängige Minimierungsprobleme kennen, die sogenannte Gamma-Konvergenz. Als Anwendung wird ein bekanntes Problem aus der Theorie der Phasenübergänge diskutiert.

Themenübersicht:

• Euler-Lagrange Gleichungen
• Existenz von Minimierern
• schwache Unterhalbstetigkeit
• Konvexitätsbegriffe
• Relaxierung
• Young Maße
• Regularität von Minimierern
• Gamma-Konvergenz
• Phasenübergänge und der Satz von Modica-Mortola

Im Anschluss an die Vorlesung können Masterarbeiten vergeben werden.

Vorkenntnisse aus dem Seminar „Einführung in die Variationsrechnung“ vom Wintersemester, in dem eindimensionale Variationsprobleme behandelt wurden, sind hilfreich, werden aber nicht vorausgesetzt.