Fraktale Geometrie

Was ist ein Fraktal? Anschaulich ist ein Fraktal eine Menge die bei genauerem Hinsehen beliebig feine regelmäßige Strukturen besitzt oder sogar lokal ähnlich zu sich selbst ist. Das wohl bekannteste Beispiel ist die Mandelbrotmenge. Beispiele für die lokale Ähnlichkeit zu sich selbst sind der Menger-Schwamm, das Sierpinski-Dreieck, der Pythagoras-Baum oder die bekannte Cantor-Menge (siehe Bilder auf der Homepage). Aber es gibt viele weitere interessante und faszinierende Fraktale die in den verschiedensten Bereichen der Natur oder der Mathematik auftreten. Formal hat Benoit Mandelbrot im Jahre 1975 ein Fraktal definiert als einen metrischen Raum, dessen Hausdorff-Dimension größer als die topologische Dimension ist. Insbesondere können Fraktale eine reelle, nicht-ganzzahlige Dimension haben. So hat der Menger-Schwamm beispielsweise eine Dimension von ca. 2,727 und das Sierpinski Dreieck ca. 1,585. Ziel dieses Seminars ist es uns die Grundlagen anzueignen um den Begriff des Fraktals zu verstehen. Zentral für das Verständnis der verschiedenen Dimensionen sind metrische und maßtheoretische Grundbegriffe die auch in anderen Gebieten der Mathematik essentiell sind. Wir werden keine Vorkenntnisse in diesen Bereichen voraussetzen und anhand des Buches [E] vorgehen. Wir wollen außerdem viele Beispiele von Fraktalen kennenlernen und untersuchen. Literatur: [E] G. Edgar. Measure, topology, and fractal geometry, Springer 2008.