Hinführung zur Zahlentheorie

Eines der primären Ziele der Zahlentheorie ist das Finden von Kriterien für die Lösbarkeit diophantischer Gleichungen. Diophantische Gleichungen sind polynomiale Gleichungssysteme mit ganzzahligen Koeffizienten und wir suchen natürlich ganzzahlige Lösungen. In diesem Proseminar interessieren wir uns vorwiegend für quadratische Gleichungen. Dies hat zweierlei Gründe. Zum einen lassen sich nichttriviale Aussagen über quadratische Gleichungen noch ohne große Theorie zeigen. Auf der anderen Seite sind quadratische Gleichungen schwierig genug um bald das Bedürfnis nach mehr Theorie zu wecken: Lässt sich das quadratische Reziprozitätsgesetz noch elementar beweisen (Dies entscheidet die Frage: Sind p ungleich q Primzahlen und ist p ein Quadrat modulo q, ist dann q ein Quadrat modulo p oder nicht?), so führt uns die Frage nach der Darstellbarkeit ganzer Zahlen durch zwei Quadrate unweigerlich zu der Notwendigkeit der Erweiterung unserer Zahlbereiche. Die Struktur dieser Erweiterungen wollen wir dann am Beispiel der quadratischen Zahlkörper studieren und für unsere Zwecke nutzbar machen. Als Literatur werden wir Alexander Schmidt: Einführung in die algebraische Zahlentheorie verwenden. Gruppe 2 findet am Dienstag 16-18 Uhr im H32 statt.