Lokale Körper/Local Fields

Inhaltsangabe / Literatur / empfohlene Vorkenntnisse Die Vorlesung ist eine Einführung in die Theorie der lokalen Körper, bis zur lokalen Klassenkörpertheorie. Lokale Körper erhält man in der Zahlentheorie, indem man einen Ganzzahlring an einem Primideal lokalisiert und den Quotientenkörper bildet und in der Algebraischen Geometrie indem man einen Punkt auf einer Kurve betrachtet; die in der Nähe definierten polynomialen Funktionen bilden einen lokalen Ring, sein Quotientenkörper ist eine lokaler Körper. Wir werden diskrete Bewertungsringe und lokale Körper einführen und grundlegende Aussagen beweisen. Dann werden wir das wichtige Werkzeug der Galoiskohomologie kennenlernen und mit dessen Hilfe starke Aussagen über die Struktur von lokalen Körpern und ihrer Galoisgruppen zeigen. Die Vorlesung bietet sich an als Anschlussvorlesung an die kommutative Algebra aus dem Sommersemester, oder an Algebraische Zahlentheorie II. Der Inhalt wird auf die Vorkenntnisse der Hörer abgestimmt. Hörer der Vorlesung über etale Kohomologie aus dem Sommersemester kennen die Galoiskohomologie bereits unter anderem Namen und können hier eine schöne Anwendung sehen. Mit einiger Mehrarbeit ist es auch denkbar die Vorlesung im Anschluss an eine gut verstandene Algebra-Vorlesung zu hören. Buch: Serre, Local Fields

Course description This course is an introduction to the theory of local fields, up to local class field theory. Local fields occur in Number Theory (when one takes the ring of integers of a number field, localizes at a prime ideal and forms the field of fractions) and Algebraic Geometry (when one takes a point on a curve, takes the local ring of polynomial functions around that point and forms the field of fractions). We will introduce discrete valuation rings and local fields and study their basic properties. Then we will get to know the important tool of Galois cohomology and use it to derive strong results on the structure of local fields and their Galois groups. The course is suitable as a continuation of a course on Commutative Algebra or Algebraic Number Theory, the minimal prerequisite is a good knowledge about groups, rings and Galois theory Book: Serre, Local fields