Lie-Gruppen, Lie-Algebren und Darstellungen

Wir wollen abgeschlossene Untergruppen G der reellen invertierbaren Matrizen, die sogenannten Matrix-Lie-Gruppen, untersuchen. Diesen Gruppen kann man ihre Lie-Algebren L(G) zuordnen, das sind reele Vektorräume mit einer Exponentialabbildung L(G)->G. Mittels dieser Exponentialabbildung können wir L(G) als eine "lineare Approximation von G" verstehen, das heißt, man versucht Informationen, die man auf L(G) via linearer Algebra gewinnt, über das Exponential für G fruchtbar zu machen. Zum einen ist das Exponential ein sehr wichtiges Hilfsmittel um Lie-Gruppen im Allgemeinen zu studieren, zum anderen wollen wir damit speziell endlich dimensionale Darstellungen unserer Gruppen untersuchen. Eine Dartellung von G in einem endlich dimensionalen Vektorraum V ist nichts anderes als ein Homomorphismus G->GL(V), bzw. die Tatsache, dass G auf V wirkt. Man interessiert sich dann für die irreduziblen Darstellungen, das sind Darstellungen, so dass V keine nicht-trivialen G-invarianten Unterräume besitzt. Diese gilt es als elementare Bausteine zu verstehen. Wir werden unsere Theorie an expliziten Gruppen, viele davon mit physikalischer Interpretation, erproben. Zum Beispiel werden alle irreduziblen Darstellungen von SO(3) charakerisiert. Das Seminar richtet sich nach dem Buch Lie-Groups, Lie-Algebras, and Representations an elementary introduction von Brian C. Hall