Vielen zahlentheoretisch interessanten Objekten können L-Funktionen zugewiesen werden, die eine Vielzahl arithmetisch interessanter Informationen in sich bergen. Prominentestes Beispiel hierfür ist die Riemannsche Zetafunktion. Eine weitreichende Verallgemeinerung der Riemanschen Zetafunktion sind Artinsche L-Reihen; Diese lassen sich zu komplexen Darstellungen der absoluten Galoisgruppe eines Zahlkörpers definieren. Apriori ist eine Artinsche L-Funktion nur als holomorphe Funktion auf einer rechten Halbebene der komplexen Zahlenebene gegeben. Fortsetzbarkeit und Funktionalgleichung, analog zum Fall der Riemannschen Zetafunktion, sind im Allgemeinen nicht leicht zu beweisen.

Doch nicht nur auf der "zahlentheoretischen" Seite lassen sich L-Funktionen definieren. Auch zu "automorphen Darstellungen" lassen sich L-Funktionen bilden. Auf der automorphen Seite sind Fortsetzbarkeit und Funktionalgleichung zugänglicher. Eine berühmte Vermutung von Langlands, ein Teil des "Langlands Program", besagt nun, dass alle Artinschen L-Funktionen von automorphen Darstellungen kommen. Im eindimensionalen Fall entsprechen den eindimensionalen komplexen Galoisdarstellungen auf der "automorphen Seite" den Charakteren der Ideleklassengruppe. Für diese ist der Beweis von Fortsetzbarkeit und Funktionalgleichung der L-Funktion gerade der Gegenstand von "Tate's thesis".

Im Seminar soll nach der Behandlung von "Tate's Thesis" ein kleiner Einblick in die Welt der Automorphen Formen gewährt werden. Der genaue Inhalt des Seminars richtet sich nach Vorkenntnissen und Interesse der Teilnehmerinnen und Teilnehmer. Gewisse Vorkenntnisse in Algebraischer Zahlentheorie sind hilfreich, aber nicht unbedingt notwendig.

Vorbesprechung: Fr. 19.7.2013, 11:30, M104