Partielle Differentialgleichungen I/Partial Differential Equations I

Mit Hilfe von partiellen Differentialgleichungen lassen sich vielfälltige Vorgänge insbesondere in den Naturwissenschaften beschreiben. Im Gegensatz zu gewöhnlichen Differentialgleichungen hängen die relevanten Größen von mehr als einer (eindimensionalen) Variablen ab, so dass unterschiedliche partielle Ableitungen in den Gleichungen auftreten. Dies hat zur Folge, dass z.B. der sogenannte Zustandsraum bei zeitabhängigen Gleichungen unendlich-dimensional wird und völlig neue Phänomene auftreten. Die Wahl des Lösungsraums und die genaue Formulierung der Gleichung spielt bei der Lösung dieser Gleichungen eine entscheidende Rolle. In dieser einführenden Vorlesung werden zunächst Gleichungen erster Ordnung mit Hilfe der sogenannten Charakteristiken-Methode studiert. Dann werden die drei Grundtypen partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung -- die sogenannten elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Gleichungen -- anhand einfacher Beispiele vorgestellt und gelöst sowie deren Eigenschaften verglichen. Der Schwerpunkt der Vorlesung wird dann allerdings auf dem Studium der sogenannten elliptischen Gleichungen liegen, welches auch eine wichtige Basis für die parabolischen und hyperbolischen Gleichungen ist. Parabolische und hyperbolische partielle Differentialgleichungen werden verstärkt in den Veranstaltungen "Partielle Differentialgleichungen II/III" der kommenden Semester studiert. Das Studium der elliptischen Gleichungen basiert u.a. auf einem passenden funktionalanalytische Rahmen, welcher im Rahmen dieser Vorlesung entwickelt wird. Themenabschnitte sind:

Nichtlineare Gleichungen erster Ordnung Grundlegende Beispiele und elementare Lösungsverfahren
Grundlegende Beispiele von partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Maximumsprinzipien bei elliptischen und parabolischen Gleichungen
Distributionen und Sobolevräume
Lineare elliptische Differentialgleichungen

Vorkenntnisse: Es werden Kenntnisse der Inhalte der Vorlesungen Analysis I-III und Lineare Algebra I-II vorausgesetzt. Kenntnisse in Funktionalanalysis sind hilfreich, aber nicht notwendig.
Literatur: Die Hauptquellen sind:

M. Renardy und R. C. Rogers, An Introduction to Partial Differential Equations, Springer, 1993
L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998

Weitere Literatur wird auf der GRIPS-Seite bekannt gegeben.

Prüfungsbestandteile Mündliche Prüfung (ca. 25 Minuten). Eine erfolgreiche Teilnahme an den Übungen der Veranstaltung (z.B. 50% der Punkte der Übungsaufgaben) ist Voraussetzung zur Zulassung zur Prüfung.

Termine und Dauer von Prüfung und erster Wiederholungsprüfung Die Prüfungen finden im Anschluss an die Vorlesungszeit statt. Der Termin der mündlichen Prüfung wird in Absprache mit dem Dozenten individuell vergeben. Genaueres wird auf der GRIPS-Seite der Veranstaltung bekannt gegeben.

Termin und Dauer der zweiten Wiederholungsprüfung Die zweite Wiederholungsprüfung findet ebenfalls als mündliche Prüfungen statt. Der Termin wird individuell vergeben. Die Prüfung dauert ca. 25 Minuten.

Bedingungen für einen unbenoteten Leistungsnachweis Erfolgreiche Teilnahme an einem Gespräch mit dem Dozenten von ca. 15 Minuten, indem der Studierende erkennen lässt, dass die wesentlichen Inhalte der Veranstaltung verstanden wurden und sie/er erfolgreich an den Übungen teilgenommen hat.