Algebraic Topology III -- (co)homology: duality and products

Die algebraische Topologie studiert topologische Räume mithilfe algebraischer Invarianten. Dabei werden bestimmte Aspekte topologischer Räume in der Algebra, z.B. durch Gruppen und Gruppenhomomorphismen, modelliert. Klassische Beispiele sind die sogenannten Homotopiegruppen bzw. (Ko)Homologietheorien.

Die algebraische Topologie hat eine Vielzahl von Anwendungen, sowohl in der theoretischen als auch in der angewandten Mathematik, z.B. durch Fixpunktsätze oder (Nicht)Einbettbarkeitsresultate. So beruht etwa Nashs Beweis für die Existenz gewisser Gleichgewichte in der Spieltheorie auf einem topologischen Argument.

Inhalt der Vorlesung sind:

Singuläre Kohomologie
Zelluläre Kohomologie
Dualität und Produkte
Klassische Anwendungen von (Ko)Homologie auf Gruppen und Mannigfaltigkeiten

Begleitend zur Vorlesung wird es voraussichtlich ein Kurzskript zu den jeweils behandelten Themen geben.

Diese Vorlesung baut auf der Algebraische Topologie II aus dem WS 2013/14 auf. Diese Vorlesungen benötigen keine Vorkenntnisse aus der Algebraischen Topologie I (bzw. die nötigen Vorkenntnisse werden dann entsprechend kurz wiederholt).

This course is a sequel to "Algebraic Topology II". However, this course does not require anything of "Algebraic Topology I" (all necessary material will be briefly reviewed when needed. Algebraic topology studies topological spaces via algebraic invariants -- by modelling certain aspects of topological spaces in the realm of algebra, e.g., by groups and group homomorphisms. Classical examples include homotopy groups and (co)homology theories. Algebraic topology has various applications, both in theoretical and in applied mathematics, for instance, through fixed point theorems and (non-)embeddability results. For example, Nash's proof of existence of certain equilibria in game theory is based on a topological argument. Topics covered in this course include: singular cohomology, cellular cohomology, duality and products, classical applications of (co)homology to groups and manifolds.

Dienstags 10--12 Uhr, M 104, Freitags 10--12 Uhr, M104

wird noch bekanntgegeben

Bachelor, Master, Diplom

Sie sollten über solide Kenntnisse in Analysis I/II (insbesondere grundlegende mengentheoretische Topologie, z.B. wie in der Analysis II im WS 2011/12), Lineare Algebra I/II und Grundkenntnisse in Gruppentheorie (wie etwa im Rahmen der Algebravorlesungen) verfügen. Außerdem sollten Sie mit singulärer und zellulärer Homologie (s. Algebraische Topologie II, WS 2013/14) vertraut sein. Kenntnisse über Mannigfaltigkeiten aus Analysis IV sind nicht erforderlich (aber hilfreich). Kenntnisse aus Algebraische Topologie I sind nicht erforderlich!

mündliche Prüfung (und Übungen)

mündliche Prüfung (25 Minuten) nach Ende der Vorlesungszeit

mündliche Prüfung (25 Minuten), Termin nach Absprache

100% mündliche Prüfung

erfolgreiche Teilnahme an den Übungen