Seminar: Darstellungstheorie endlicher Gruppen

Inhalt:
Unter einer linearen Darstellung der Gruppe $G$ versteht man eine Operation von G auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum V durch lineare Abbildungen, mit anderen Worten einen Homomorphismus G -> GL(V).
Dieser ermöglicht es, gruppentheoretische Eigenschaften in die elementare Sprache der linearen Algebra zu übersetzen. So lässt sich beispielsweise über die Spur-Abbildung der Charakter einer Darstellung definieren, welcher diese in Charakteristik 0 bereits bis auf Isomorphie eindeutig festlegt. Allgemeine Darstellungen zerfallen in elementare Bausteine, die sogenannten irreduziblen Darstellungen. Für eine endliche Gruppe gibt es davon nur endlich viele und diese lassen sich mit Hilfe der Charaktere bestimmen. Die Existenz irreduzibler Darstellungen zu gegeben Graden (d.h. Dimensionen des Vektorraums V) ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Klassifikation endlicher Gruppen. Die Theorie erlaubt sehr konkrete Beispielrechnungen und die schnelle Herleitung theoretischer Resultate wie der Auflösbarbarkeit von Gruppen der Ordnung p^aq^b (p,q Primzahlen), die sonst einen großen Aufwand erfordern.
Lineare Darstellungen spielen beim Studium von endlichen Gruppen eine zentrale Rolle. Neben der reinen Gruppentheorie finden sie in zahlreichen weiteren mathematischen Gebieten (Galoistheorie, Zahlentheorie, Geometrie) sowie in der Physik (Mechanik, Teilchenphysik) und der Chemie (Symmetriegruppen von Molekülen) Anwendung. Das Seminar schafft auch eine gute Grundlage für das Verständnis fortgeschrittener Analoga dieser Theorie, zum Beispiel, Darstellungstheorie von Lie-Gruppen, algebraischen Gruppen, Lie-Algebren, etc.
Inhaltliche Stichpunkte:
Grundbegriffe, Charaktere, Zerlegung der regulären Darstellung, induzierte Darstellungen, Gruppenalgebren, Darstellungsring, Artins Theorem, Induktionssatz von Brauer
Literatur:

P. Müller: Skript Darstellungstheorie endlicher Gruppen

J.-P. Serre: Linear representations of finite groups

G. James, M. Liebeck: Representations and characters of groups

By a linear representation of a group G one understands an action of G on a vector space V by linear maps, i.e. a group homomorphism from G to GL_n(V). Such a homomorphism enables one to translate group heoretic statements into the simple language of linear algebra. Thus we have for example the trace map from GL_n(V) to the field of scalars K, which, composed with the representation homomorphism, gives the so-called character of the representation. If the characteristic of K is zero, the character completely determines the representation. General representations decompose into simple building blocks, the irreducible representations, of which a finite group admits only finitely many, and character theory helps to determine these simple representations. The existence of irreducible representations of given dimensions for a fixed group is an important information for the classification of finite groups. In general linear representations play a central role in the study of finite groups. Apart from group theory there are applications in many other areas (Galois theory, number theory, geometry) as well as physics (mechanics, particle physics) and chemistry (symmetry groups of molecules). The seminar will offer good foundations for studying other variants of representation theory, such as representation theory of Lie groups, algebraic groups, Lie algebras etc. Some topics to be covered: Basic notions, characters, decomposition of the regular representation, induced representations, group algebras, representation ring, Artin's theorem, Brauer induction theorem