Stoffplan für Klausuren und mündliche Prüfungen zur Vorlesung
Algebra I (WS 2007/08)

Die Liste der nachfolgenden Stichpunkte soll einen Überblick über
die wichtigsten in der Vorlesung behandelten Themen geben; sie
möge als Anhaltspunkt für die Vorbereitung auf entsprechende
Prüfungen in dienen. Die Liste kann naturgemäß nicht vollständig
sein. Prüfungsrelevant ist grundsätzlich der gesamte in der
Vorlesung behadelte Stoff.


Gruppen

- Definition, elementare Eigenschaften, Beispiele
- Nebenklassen, Satz von Lagrange
- Normalteiler, Homomorphismen, Homomorphiesatz, Isomorphiesätze
- zyklische Gruppen, Definition, Klassifikation
- Kleiner Fermatscher Satz

Polynomringe

- Ringe, Ideale, Definition, elementare Eigenschaften, Beispiele
- Ringhomomorphismen, Faktorringe, Homomorphiesatz, Chinesischer
  Restsatz
- Primideale, maximale Ideale
- Polynomringe einer und mehrerer Variablen, Definition,
  Gradfunktion, Einheiten, Division mit Rest
- euklidische Ringe, Hauptidealringe, faktorielle Ringe,
  Primfaktorzerlegung, ggT und kgV, einschließlich
  idealtheoretischer Charakterisierung, Satz von Gauß
- Nullstellen von Polynomen, Irreduzibilitätskriterien

Körper

- Charakteristik eines Körpers, Primkörper
- Körpererweiterungen: algebraische, endliche, endlich erzeugte,
  einfache, normale, separable, rein inseparable, galoissche
- Grad einer Körpererweiterung, Gradformel
- Minimalpolynom eines algebraischen Elementes
- Konstruktion von Kronecker
- Jede einfache, von einem algebraischen Element erzeugte
  Körpererweiterung ist endlich und insbesondere algebraisch
- Konstruktion eines algebraischen Abschlusses, Eindeutigkeit
- Fortsetzung von Körperhomomorphismen auf algebraische
  Erweiterungen
- Zerfällungskörper, normale Körpererweiterungen, normale Hülle
- Separable Körpererweiterungen, Charakterisierung mit
  Separablitätsgrad, Gradformel für Separabilitätsgrad
- Jede einfache, von einem separabel algebraischen Element
  erzeugte Körpererweiterung ist separabel algebraisch
- Vollkommene Körper
- Satz vom primitiven Element
- Endliche Untergruppen der multiplikativen Gruppe eines Körpers
  sind zyklisch
- Rein inseparable Körpererweiterungen, Charakterisierung mit
  Separabilitätsgrad, Beispiele
- Endliche Körper

Galois-Theorie

- Galois-Gruppe, Definition und Eigenschaften, Beispiele
- Hauptsatz der Galois-Theorie, Zusammenhang zwischen
  Normalteilern und normalen Körpererweiterungen
- Galois-Gruppe einer algebraischen Gleichung, Beispiele