Algorithmische Topologie

Seminar, SS2010

Aktuelles

• Am 14.07. sprechen wir über Anwendungen -- jeder Teilnehmer sollte sich eine Anwendung für persistente Homologie aussuchen, die er kurz präsentieren kann.
• Zielgruppe: Das Seminar richtet sich sowohl an Studenten, die sich in reiner Mathematik vertiefen, als auch an Studenten, die sich in angewandter Mathematik vertiefen. Vorkenntnisse in Topologie werden nicht vorausgesetzt!

Überblick

In algorithmischer Topologie beschäftigt man sich u.a. mit der Darstellung von Räumen, wie zum Beispiel Flächen, Molekülen, Organen, usw. (also geometrischen Objekte, die gewöhnlich aus einem Kontinuum bestehen) durch endliche, kombinatorische Daten, die zum Beispiel von Computerprogrammen verarbeitet werden können.

Simpliziale Komplexe sind ein Beispiel einer solchen Darstellung. Sie bestehen aus einer Vereinigung von Simplizes verschiedener Dimension, die nach bestimmten Regeln zusammengeklebt werden. Diese "Regeln" werden rein kombinatorisch kodiert.

Weiter untersucht man das umgekehrte Problem der Realisierung : wie bekommt man aus rein kombinatorischer Information über ein geometrisches Objekt (wie zum Beispiel einer endlichen Menge von Punkten auf eine Fläche) eine sinnvolle Darstellung dieses Objektes und seiner Geometrie? Wie unterscheidet man verschiedene Realisierungen?

Unser Ziel in diesem Seminar ist es, "persistente" Homologie zu definieren, und zu verstehen wie man sie zur Lösung solcher Probleme verwendet. Homologie ist eine Verallgemeinerung der Euler-Charakterisik: Homologie ordnet jedem Raum eine Gruppe zu, und erlaubt uns hier gemeinsame Eigenschaften aus verschiedenen Realisierungen zu erkennen. Solche Eigenschaften sind dann "persistent", und damit wesentlich.

Programm

Literatur

1. G. Carlsson, Topology and data, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), vol. 46, 2009.
   
2. G. Carlsson and A. Zomorodian, Computing persistent homology, Discrete Comput. Geom., vol. 33, 2005.
   
3. D. Cohen-Steiner, H. Edelsbrunner and J. Harer, Stability of persistence diagrams, Discrete Comput. Geom., vol. 37, 2007.
   
4. T. H. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. F. Rivest and C. Stein, Introduction to algorithms, MIT Press, Cambridge, MA, 2009.
   
5. C. J. A. Delfinado and H. Edelsbrunner, An incremental algorithm for Betti numbers of simplicial complexes on the 3-sphere, Comput. Aided Geom. Design, vol. 12, 1995.
   
6. V. de Silva and R. Ghrist, Homological sensor networks, Notices Amer. Math. Soc., vol. 54, 2007.
   
7. H. Edelsbrunner, The union of balls and its dual shape, Discrete Comput. Geom., vol. 13, 1995.
   
8. H. Edelsbrunner and J. Harer, Computational topology, American Mathematical Society, Providence, RI, 2010.
   
9. R. Ghrist, Barcodes: the persistent topology of data, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), vol. 45, 2008.
   
10. K. Jänich, Topologie, Springer-Verlag, Berlin, 2005.
    
11. T. Kaczynski, K. Mischaikow and M. Mrozek, Computational homology, vol. 157, Springer-Verlag, New York, 2004.
    
12. J. R. Munkres, Topology: a first course, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1975.
    
13. J. R. Munkres, Elements of algebraic topology, Addison-Wesley Publishing Company, Menlo Park, CA, 1984.
    
14. C. P. Rourke and B. J. Sanderson, Introduction to piecewise-linear topology, Springer-Verlag, Berlin, 1982.
    
15. A. J. Zomorodian, Topology for computing, Cambridge University Press, 2005.
    

Material

• LaTeX-Vorlagen für Handouts: .tex, .pdf
• LaTeX-Vorlagen für Ausarbeitungen: .tex, .pdf

Vorkenntnisse

Anmeldung

Scheinerwerb

• Ein 80-minütiger Vortrag; die verbleibenden 10 Minuten der Sitzung werden wir für die Diskussion verwenden.
• Regelmäßige Anwesenheit und aktive Teilnahme am Seminar.
• Ein Handout von ein bis zwei Seiten zu Ihrem Vortrag, das die wichtigsten Aspekte des Vortrags enthält.
• Eine schriftliche Ausarbeitung des Vortrags; diese muss bis spätestens eine Woche vor dem Vortrag abgegeben werden.

Bitte kommen Sie spätestens drei Wochen vor Ihrem Vortrag bei uns vorbei, um etwaige Fragen zu klären und den Vortrag durchzusprechen.

Für Studenten aus den Bachelor-Studiengängen wird der Vortrag benotet; für alle anderen Teilnehmer wird der Schein nicht benotet.