% Vorlage fuer Handouts
% zum Seminar "Algorithmische Topologie"
% im SS 2010
%
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% Allgemeine Hinweise
% - Halten Sie den LaTeX-Code so uebersichtlich wie moeglich;
%   (La)TeX-Fehlermeldungen sind oft kryptisch -- in einem ordentlich 
%   strukturierten Quellcode lassen sich Fehler leichter finden und 
%   beseitigen
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% Jedes LaTeX-Dokument muss eine \documentclass-Deklaration enthalten
%   Diese sorgt fuer das allgemeine Seiten-Layout, das Aussehen der 
%   Ueberschriften etc.
\documentclass[a4paper,oneside,DIV8,10pt]{scrartcl}
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  % Einbinden weiterer Pakete
  \usepackage{german}    % fuer die deutschen Trennmuster
  % \usepackage{ngerman} % entsprechend fuer die neue Rechtschreibung
  \usepackage[latin1]{inputenc} % falls Sie Umlaute in den Quellen verwenden wollen
  \usepackage{amsmath}   % enthaelt nuetzliche Makros fuer Mathematik
  \usepackage{amsthm}    % fuer Saetze, Definitionen, Beweise, etc.
  \usepackage{amsfonts}  % spezielle AMS-Mathematik-Fonts
  \usepackage{relsize}   % fuer \smaller 
  \usepackage{tikz}      % fuer Graphiken

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  % Deklaration eigener Mathematik-Makros
  \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}   % natuerliche Zahlen
  \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}   % ganze Zahlen
  \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}   % rationale Zahlen
  \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}   % reelle Zahlen

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  % Deklaration eigener Satz-/Definitions-/Beweisumgebungen mit amsthm
  \newtheorem{satz}{Satz}[section]
  \newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
  \newtheorem{korollar}[satz]{Korollar}
  \theoremstyle{definition}
  \newtheorem{definition}[satz]{Definition}
  \newtheorem{bemerkung}[satz]{Bemerkung}
  \newtheorem{aufgabe}[satz]{Aufgabe}
  \newenvironment{beweis}%
    {\begin{proof}[Beweis]}
    {\end{proof}}
  \newtheorem{beispiel}[satz]{Beispiel}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  % Deklaration weiterer Makros
  \renewcommand{\labelitemi}{--}             % aendert die Symbole bei unnumerierten Aufzaehlungen
  \makeatletter                              % Fussnote ohne Symbol
    \def\blfootnote{\xdef\@thefnmark{}\@footnotetext}
  % Titel des Handouts
  %   #1 Name des Vortragenden
  %   #2 email-Adresse 
  %   #3 Datum des Vortrags
  %   #4 Titel des Vortrags
  \newcommand{\handouttitle}[4]
   {\begin{center}
      \Large #4
    \end{center}

    \bigskip

    \noindent
    #1 (\textsf{#2})
    \hfill
    #3%
    \blfootnote{Seminar \glqq Algorithmische Topologie\grqq, 
      SS~2010, {\smaller WWU}~M\"unster}
  
    \noindent
    \rule{\linewidth}{.5pt}

    \bigskip

    \@afterindentfalse\@afterheading
   }
  \makeatother
  \renewcommand{\sectfont}{\normalfont}       % aendert den Font fuer Ueberschriften

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Anfang des eigentlichen Dokuments
\begin{document}

  % Titel fuer das Handout -- Sie koennen natuerlich auch selbst etwas entwerfen!
  \handouttitle{N.~Imeta}
               {mail@turbospam.org}
               {30.~Februar~2010}
               {Nerven und Komplexe}


  \section{Grundlagen}

  Zu jeder \"Uberdeckung eines topologischen Raumes kann man den
  zugeh\"origen \emph{Nerv} betrachten -- dieser ist ein simplizialer
  Komplex, der die kombinatorische Struktur der \"Uberdeckung
  enkodiert. So erh\"alt man zum Beispiel f\"ur \"Uberdeckungen
  metrischer R\"aume durch B\"alle eines gegebenen Radius die
  entsprechenden \emph{\v Cech-Komplexe}
  (s.~Abbildung~\ref{fig:cechkomplexe}).
  [Weitere Informationen zu Ti\textit{k}Z und~{\smaller PGF} finden
  sich in der Dokumentation~\cite{tantau}.]

  \begin{figure}[h]
    \begin{center}
      \newcommand{\gbullet}[1]{%
        \fill[color=red!70!black] #1 circle (2pt);
      }
      \newcommand{\covset}[2]{%
        \fill[color=blue!30,semitransparent] #2 circle (#1);
      }
      \newcommand{\covering}[1]{%
        \covset{#1}{(90:1)}
        \covset{#1}{(210:1)}
        \covset{#1}{(330:1)}
      }
      \begin{tabular}{c@{\qquad}c@{\qquad}c}
          \begin{tikzpicture}[baseline={(0,0)}]
            \covering{0.4}
            % vertices
            \gbullet{(90:1)}
            \gbullet{(210:1)}
            \gbullet{(330:1)}
          \end{tikzpicture}
        & \begin{tikzpicture}[baseline={(0,0)}]
            \covering{0.93}
            % edges
            \begin{scope}[color=red,semitransparent]
              \draw (90:1) -- (210:1);
              \draw (210:1) -- (330:1);
              \draw (330:1) -- (90:1);
            \end{scope}
            % vertices
            \gbullet{(90:1)}
            \gbullet{(210:1)}
            \gbullet{(330:1)}
          \end{tikzpicture}
        & \begin{tikzpicture}[baseline={(0,0)}]
            \covering{1.1}
            % triangle
            \fill[color=red!50,semitransparent] (90:1) -- (210:1) -- (330:1) -- cycle;
            % edges
            \begin{scope}[color=red,semitransparent]
              \draw (90:1) -- (210:1);
              \draw (210:1) -- (330:1);
              \draw (330:1) -- (90:1);
            \end{scope}
            % vertices
            \gbullet{(90:1)}
            \gbullet{(210:1)}
            \gbullet{(330:1)}
          \end{tikzpicture}
        \\[1em]
          \glqq kleiner\grqq\ Radius
        & \glqq mittlerer\grqq\ Radius
        & \glqq gro\ss er\grqq\ Radius
      \end{tabular}
    \end{center}
    \caption{\v Cech-Komplexe (rot) zu drei Punkten bez\"uglich
      verschiedener Radien}
    \label{fig:cechkomplexe}
  \end{figure}


  \section{Eigenschaften von Nerven}

  \begin{satz}
    Hier k\"onnte ein wichtiger Satz \"uber Nerven stehen \dots
  \end{satz}
  \begin{beweis}
    \dots und hier eine kleine Beweisskizze.
  \end{beweis}

  \section{Beispiele}

  \begin{beispiel}
    \hfil
    \begin{itemize}
      \item Hier ein Beispiel 
      \item \dots und noch eins
      \item \dots und noch eins
      \item \dots und hier vielleicht noch eines mit mathematischen
        Symbolen, etwa $a$, $b$, $\R$, $\sqrt{2}$, \dots oder einer
        Gleichung: 
        \[ 9 \cdot 6 = 42. 
        \]
    \end{itemize}
  \end{beispiel}

  \begin{aufgabe}
    Vergessen Sie nicht, ein paar Aufgaben einzustreuen, an denen die
    Teilnehmer nochmal ihre Kenntnisse \"uberpr\"ufen k\"onnen.
  \end{aufgabe}

  \begin{beispiel}
    \hfil
    \begin{enumerate}
      \item Es gibt auch Beispiele, \dots
      \item \dots die numeriert sind.
    \end{enumerate}
  \end{beispiel}



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% Literaturverzeichnis
% - Der Einfachheit halber sind hier ein paar Quellen eingetragen, die
%   auch im Seminarprogramm auftreten 
% - Bitte entfernen Sie alle Quellen, die Sie nicht in Ihrem Handout 
%   zitieren
% - Umgekehrt muessen Sie natuerlich, wenn Sie weitere Literatur
%   zitieren wollen, die entsprechenden Quellen hier einfuegen; 
%   hierbei kann www.ams.org/mathscinet helfen, die noetigen 
%   Informationen zu den Quellen zu sammeln
  \begin{thebibliography}{99}
    \bibitem{edelsbrunnerharer}
      H.~Edelsbrunner, J.L.~Harer, 
      \emph{Computational Topology: An Introduction}, 
      {\smaller AMS},
      2009. 
    \bibitem{companion} 
      F.~Mittelbach, M.~Goossens, J.~Braams, D.~Carlisle, C.~Rowley, 
      \emph{The \LaTeX\ Companion}, 
      zweite Auflage, Addison-Wesley, 
      2004.
    \bibitem{munkres} 
      J.R.~Munkres, 
      \emph{Elements of algebraic topology}, 
      Addison-Wesley, 
      1984. 
    \bibitem{tantau} 
        T.~Tantau. \emph{The {\normalfont Ti\textit{k}Z} and
          {\normalfont PGF} Packages}, 
        \\
        \textsf{http://www.ctan.org/tex-archive/graphics/pgf/base/doc/generic/pgf/pgfmanual.pdf} 
    \bibitem{zomorodian}
      A.J.~Zomorodian, 
      \emph{Topology for computing}, 
      Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 
      Band~16, 
      Cambridge University Press, 
      2005. 
  \end{thebibliography}

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\end{document}