% Vorlage fuer Ausarbeitungen % zum Seminar ``ProofLab: Simplicial Topology'' % im WS 21/22 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Allgemeine Hinweise % - Halten Sie den LaTeX-Code so uebersichtlich wie moeglich; % (La)TeX-Fehlermeldungen sind oft kryptisch -- in einem ordentlich % strukturierten Quellcode lassen sich Fehler leichter finden und % beseitigen % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Jedes LaTeX-Dokument muss eine \documentclass-Deklaration enthalten % Diese sorgt fuer das allgemeine Seiten-Layout, das Aussehen der % Ueberschriften etc. \documentclass[a4paper,twoside,DIV=8,10pt]{scrartcl} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Einbinden weiterer Pakete % remove "german/ngerman" for English texts! \usepackage{german} % fuer die deutschen Trennmuster % \usepackage{ngerman} % entsprechend fuer die neue Rechtschreibung \usepackage[latin1]{inputenc} % falls Sie Umlaute in den Quellen verwenden wollen \usepackage{amsmath} % enthaelt nuetzliche Makros fuer Mathematik \usepackage{amsthm} % fuer Saetze, Definitionen, Beweise, etc. \usepackage{amsfonts} % spezielle AMS-Mathematik-Fonts \usepackage{relsize} % fuer \smaller \usepackage{tikz} % fuer Graphiken \usepackage{scrlayer-scrpage} % fuer die Kopfzeilen \KOMAoptions{headinclude} \usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref} % PDF hyperlinks \urlstyle{sf} \def\www#1{\url{#1}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Deklaration eigener Mathematik-Makros \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}} % natuerliche Zahlen \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} % ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} % rationale Zahlen \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} % reelle Zahlen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Deklaration eigener Satz-/Definitions-/Beweisumgebungen mit amsthm \newtheorem{satz}{Satz}[section] \newtheorem{lemma}[satz]{Lemma} \newtheorem{korollar}[satz]{Korollar} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}[satz]{Definition} \newtheorem{bemerkung}[satz]{Bemerkung} \newtheorem{aufgabe}[satz]{Aufgabe} \newenvironment{beweis}% {\begin{proof}[Beweis]} {\end{proof}} \newtheorem{beispiel}[satz]{Beispiel} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Deklaration weiterer Makros \renewcommand{\labelitemi}{--} % aendert die Symbole bei unnumerierten Aufzaehlungen \makeatletter % Fussnote ohne Symbol \def\blfootnote{\xdef\@thefnmark{}\@footnotetext} \renewcommand{\sectfont}{\normalfont} % aendert den Font fuer Ueberschriften % Seitenlayout \renewcommand{\headfont}{\sffamily} % sans serif Kopfzeilen \renewcommand{\pnumfont}{\sffamily} % sans serif Seitenzahlen \automark[section]{section} % bestimmt den Inhalt von \headmark \deftripstyle{myheadings}{\headmark}{}{\pagemark}% Kopfzeile {}{}{}% Fusszeile \pagestyle{myheadings} % aktiviert den neu definierten Seitenstil %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Titel der Ausarbeitung \author{N.~Imeta (\textsf{mail@spam.blorx})} \date{30.~Februar 2010} \title{Das Haus vom Nikolaus% \blfootnote{Seminar \emph{Open covers and complexity (\`a la Lusternik--Schnirelmann)}, WS~2022/23, Universit\"at Regensburg}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Anfang des eigentlichen Dokuments \begin{document} % Titel der Ausarbeitung -- Sie koennen natuerlich auch selbst etwas entwerfen! \maketitle \begin{abstract} \noindent Hier steht eine Zusammenfassung bzw.\ ein \"Uberblick des Vortrags -- ungef\"ahr vier bis zehn Zeilen. Man sollte kurz beschreiben, was das Hauptziel des Vortrags ist, und in welchen Schritten dieses Ziel erreicht wird. \end{abstract} \section{Grundlagen} \begin{definition}[Das Haus vom Nikolaus] \label{def:hausvomnikolaus} Das \emph{Haus vom Nikolaus} ist der Graph~$(V,E)$, der wie folgt gegeben ist: \begin{align*} V & := \{1, \dots, 5\} \\ E & := \bigl\{ \{1,2\} , \{1,5\} , \{2,3\} , \{2,4\} , \{2,5\} , \{3,4\} , \{3,5\} , \{4,5\} \bigr\} \end{align*} \end{definition} Man kann das Haus vom Nikolaus wie in Abbildung~\ref{fig:hausvomnikolaus} veranschaulichen (weitere Informationen zu Ti\textit{k}Z und~{\smaller PGF} finden sich in der Dokumentation~\cite{tantau}). \begin{figure}[h] \begin{center} \begin{tikzpicture} \begin{scope}[color=black!20] \draw[fill] (0,0) circle (2pt); \draw[fill] (1,0) circle (2pt); \draw[fill] (0,1) circle (2pt); \draw[fill] (0.5,1.5) circle (2pt); \draw[fill] (1,1) circle (2pt); \end{scope} \begin{scope}[color=blue] \draw (0.5,1.5) node[above] {$1$}; \draw (1,1) node[right] {$2$}; \draw (1,0) node[right] {$3$}; \draw (0,0) node[left] {$4$}; \draw (0,1) node[left] {$5$}; \end{scope} \draw[->,rounded corners=0.1cm] (0,0) -- (1,0) -- (0,1) -- (1,1) -- (0,0) -- (0,1) -- (0.5,1.5) -- (1,1) -- (1,0.2); \end{tikzpicture} \end{center} \caption{Das Haus vom Nikolaus} \label{fig:hausvomnikolaus} \end{figure} \section{Eigenschaften des Hauses vom Nikolaus} \begin{satz}[Das Haus vom Nikolaus] Das Haus vom Nikolaus ist unvollst\"andig. \end{satz} \begin{beweis} Wir verwenden die Notation aus Definition~\ref{def:hausvomnikolaus}. Da zum Beispiel die Kante~$\{1,3\}$ nicht im Haus vom Nikolaus enthalten ist, ist das Haus vom Nikolaus kein vollst\"andiger Graph. \end{beweis} \section{Beispiele} \begin{beispiel} \hfil \begin{itemize} \item Hier ein Beispiel \item \dots und noch eins \item \dots und noch eins \end{itemize} \end{beispiel} \begin{aufgabe} Vergessen Sie nicht, ein paar Aufgaben einzustreuen, an denen die Teilnehmer nochmal ihre Kenntnisse \"uberpr\"ufen k\"onnen. \end{aufgabe} \begin{beispiel} \hfil \begin{enumerate} \item Es gibt auch Beispiele, \dots \item \dots die numeriert sind. \end{enumerate} \end{beispiel} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Literaturverzeichnis % - Der Einfachheit halber sind hier bereits alle Quellen eingetragen, % die im Seminarprogramm auftreten % - Bitte entfernen Sie alle Quellen, die Sie nicht in Ihrem Handout % zitieren % - Umgekehrt muessen Sie natuerlich, wenn Sie weitere Literatur % zitieren wollen, die entsprechenden Quellen hier einfuegen; % hierbei kann www.ams.org/mathscinet helfen, die noetigen % Informationen zu den Quellen zu sammeln \begin{thebibliography}{99} \bibitem{beutelspacher} A.~Beutelspacher. \emph{Das ist o.B.d.A.\ trivial!}, neunte Auf\-lage, Vie\-weg$+$Teub\-ner, 2009. \bibitem{CLOT} O.~Cornea, G.~Lupton, J.~Oprea, and D.~Tanr\'e. \emph{Lusternik--Schnirelmann category}, Mathematical Surveys and Monographs, 103, American Mathematical Society, 2003. \bibitem{hatcher} A.~Hatcher. \emph{Algebraic topology}, Cambridge University Press, 2002. \bibitem{loeh} C.~L\"oh. \emph{Algebraic topology. An introductory course},\\ \www{https://loeh.app.ur.de/teaching/topologie1\_ws2122/lecture\_notes.pdf}, 2022. \bibitem{milnor} J.~W.~Milnor. \emph{Morse theory}, based on lecture notes by M.~Spivak and R.~Wells, Ann.\ Math.\ Stud.\, 51, Princeton University Press, 1963. \bibitem{companion} F.~Mittelbach, M.~Goossens, J.~Braams, D.~Carlisle, C.~Rowley. \emph{The \LaTeX\ Companion}, zweite Auf\-lage, Addison-Wesley, 2004. \bibitem{tantau} T.~Tantau. \emph{The {\normalfont Ti\textit{k}Z} and {\normalfont PGF} Packages}, \\ \mbox{\www{http://www.ctan.org/tex-archive/graphics/pgf/base/doc/generic/pgf/pgfmanual.pdf}} \end{thebibliography} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Ende des Dokuments -- alles, was nach dieser Zeile steht, wird % von LaTeX ignoriert! \end{document}