% Vorlage fuer Handouts
% Seminar ``Thompson Groups''
% im SS 22
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Allgemeine Hinweise
% - Halten Sie den LaTeX-Code so uebersichtlich wie moeglich;
%   (La)TeX-Fehlermeldungen sind oft kryptisch -- in einem ordentlich 
%   strukturierten Quellcode lassen sich Fehler leichter finden und 
%   beseitigen
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Jedes LaTeX-Dokument muss eine \documentclass-Deklaration enthalten
%   Diese sorgt fuer das allgemeine Seiten-Layout, das Aussehen der 
%   Ueberschriften etc.
\documentclass[a4paper,DIV8,10pt]{scrartcl}
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  % Einbinden weiterer Pakete
  % remove "german/ngerman" for English texts!
  \usepackage{german}    % fuer die deutschen Trennmuster
  % \usepackage{ngerman} % entsprechend fuer die neue Rechtschreibung
  \usepackage[latin1]{inputenc} % falls Sie Umlaute in den Quellen verwenden wollen
  \usepackage{amsmath}   % enthaelt nuetzliche Makros fuer Mathematik
  \usepackage{amsthm}    % fuer Saetze, Definitionen, Beweise, etc.
  \usepackage{amsfonts}  % spezielle AMS-Mathematik-Fonts
  \usepackage{relsize}   % fuer \smaller 
  \usepackage{tikz}      % fuer Graphiken
  \usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref} % PDF hyperlinks
  \urlstyle{sf}
  \def\www#1{\url{#1}}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  % Deklaration eigener Mathematik-Makros
  \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}   % natuerliche Zahlen
  \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}   % ganze Zahlen
  \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}   % rationale Zahlen
  \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}   % reelle Zahlen

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  % Deklaration eigener Satz-/Definitions-/Beweisumgebungen mit amsthm
  \newtheorem{satz}{Satz}[section]
  \newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
  \newtheorem{korollar}[satz]{Korollar}
  \theoremstyle{definition}
  \newtheorem{definition}[satz]{Definition}
  \newtheorem{bemerkung}[satz]{Bemerkung}
  \newtheorem{aufgabe}[satz]{Aufgabe}
  \newenvironment{beweis}%
    {\begin{proof}[Beweis]}
    {\end{proof}}
  \newtheorem{beispiel}[satz]{Beispiel}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  % Deklaration weiterer Makros
  \renewcommand{\labelitemi}{--}             % aendert die Symbole bei unnumerierten Aufzaehlungen
  \makeatletter                              % Fussnote ohne Symbol
    \def\blfootnote{\xdef\@thefnmark{}\@footnotetext}
  % Titel des Handouts
  %   #1 Name des Vortragenden
  %   #2 email-Adresse 
  %   #3 Datum des Vortrags
  %   #4 Titel des Vortrags
  \newcommand{\handouttitle}[4]
   {\begin{center}
      \Large #4
    \end{center}

    \bigskip

    \noindent
    #1 (\textsf{#2})
    \hfill
    #3%
    \blfootnote{Seminar \emph{Open covers and complexity (\`a la Lusternik--Schnirelmann)}, 
      WS~2022/23, Universit\"at Regensburg}
  
    \noindent
    \rule{\linewidth}{.5pt}

    \bigskip

    \@afterindentfalse\@afterheading
   }
  \makeatother
  \renewcommand{\sectfont}{\normalfont}       % aendert den Font fuer Ueberschriften

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Anfang des eigentlichen Dokuments
\begin{document}

  % Titel fuer das Handout -- Sie koennen natuerlich auch selbst etwas entwerfen!
  \handouttitle{N.~Imeta}
               {mail@spam.blorx}
               {30.~Februar~2010}
               {Das Haus vom Nikolaus}


  \section{Grundlagen}

  \begin{definition}[Das Haus vom Nikolaus]
    \label{def:hausvomnikolaus}
    Das \emph{Haus vom Nikolaus} ist der Graph~$(V,E)$, der wie folgt
    gegeben ist:
    \begin{align*}
      V & := \{1, \dots, 5\}
      \\
      E & := \bigl\{ \{1,2\}
                   , \{1,5\}
                   , \{2,3\}
                   , \{2,4\}
                   , \{2,5\}
                   , \{3,4\}
                   , \{3,5\}
                   , \{4,5\}
             \bigr\}
    \end{align*}
  \end{definition}

  Man kann das Haus vom Nikolaus wie in
  Abbildung~\ref{fig:hausvomnikolaus} veranschaulichen (weitere
  Informationen zu Ti\textit{k}Z und~{\smaller PGF} finden sich in der
  Dokumentation~\cite{tantau}).

  \begin{figure}[h]
    \begin{center}
      \begin{tikzpicture}[x=0.8cm,y=0.8cm]
         \begin{scope}[color=black!20]
           \draw[fill] (0,0) circle (2pt);
           \draw[fill] (1,0) circle (2pt);
           \draw[fill] (0,1) circle (2pt);
           \draw[fill] (0.5,1.5) circle (2pt);
           \draw[fill] (1,1) circle (2pt);
         \end{scope}
         \begin{scope}[color=blue]
           \draw (0.5,1.5) node[above] {$1$};
           \draw (1,1) node[right] {$2$};
           \draw (1,0) node[right] {$3$};
           \draw (0,0) node[left] {$4$};
           \draw (0,1) node[left] {$5$};
         \end{scope}
         \draw[->,rounded corners=0.1cm]
            (0,0) -- (1,0) -- (0,1) -- (1,1) -- (0,0)
         -- (0,1) -- (0.5,1.5) -- (1,1) -- (1,0.2);
      \end{tikzpicture}
    \end{center}
    \caption{Das Haus vom Nikolaus}
    \label{fig:hausvomnikolaus}
  \end{figure}

  \section{Eigenschaften des Hauses vom Nikolaus}

  \begin{satz}[Das Haus vom Nikolaus]
    Das Haus vom Nikolaus ist unvollst\"andig.
  \end{satz}
  \begin{beweis}
    Wir verwenden die Notation aus
    Definition~\ref{def:hausvomnikolaus}. Da die
    Kante~$\{1,3\}$ nicht im Haus vom Nikolaus enthalten ist, ist das
    Haus vom Nikolaus kein vollst\"andiger Graph.
  \end{beweis}

  \section{Beispiele}

  \begin{beispiel}
    \hfil
    \begin{itemize}
      \item Hier ein Beispiel 
      \item \dots und noch eins
    \end{itemize}
  \end{beispiel}

  \begin{aufgabe}
    Vergessen Sie nicht, ein paar Aufgaben einzustreuen, an denen die
    Teilnehmer nochmal ihre Kenntnisse \"uberpr\"ufen k\"onnen.
  \end{aufgabe}

%  \begin{beispiel}
%    \hfil
%    \begin{enumerate}
%      \item Es gibt auch Beispiele, \dots
%      \item \dots die numeriert sind.
%    \end{enumerate}
%  \end{beispiel}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Literaturverzeichnis
% - Der Einfachheit halber sind hier bereits alle Quellen eingetragen, 
%   die im Seminarprogramm auftreten
% - Bitte entfernen Sie alle Quellen, die Sie nicht in Ihrem Handout 
%   zitieren
% - Umgekehrt muessen Sie natuerlich, wenn Sie weitere Literatur
%   zitieren wollen, die entsprechenden Quellen hier einfuegen; 
%   hierbei kann www.ams.org/mathscinet helfen, die noetigen 
%   Informationen zu den Quellen zu sammeln
  \begin{thebibliography}{99}

  \bibitem{beutelspacher}
    A.~Beutelspacher.
    \emph{Das ist o.B.d.A.\ trivial!},
    neunte Auf\-lage, Vie\-weg$+$Teub\-ner, 2009.

    \bibitem{CLOT}
      O.~Cornea, G.~Lupton, J.~Oprea, and D.~Tanr\'e.
      \emph{Lusternik--Schnirelmann category},
      Mathematical Surveys and Monographs, 103,
      American Mathematical Society, 2003.

    \bibitem{hatcher}      
      A.~Hatcher.
      \emph{Algebraic topology},
      Cambridge University Press, 2002.

   \bibitem{loeh}   
     C.~L\"oh. \emph{Algebraic topology. An introductory course},\\
     \www{https://loeh.app.ur.de/teaching/topologie1\_ws2122/lecture\_notes.pdf},
     2022.

   \bibitem{milnor}
     J.~W.~Milnor.
     \emph{Morse theory},
     based on lecture notes by M.~Spivak and R.~Wells, 
     Ann.\ Math.\ Stud.\, 51,
     Princeton University Press, 1963.

   \bibitem{companion}
     F.~Mittelbach, M.~Goossens, J.~Braams, D.~Carlisle, C.~Rowley.
     \emph{The \LaTeX\ Companion},
     zweite Auf\-lage, Addison-Wesley, 2004.
     
   \bibitem{tantau} 
     T.~Tantau. \emph{The {\normalfont Ti\textit{k}Z} and
       {\normalfont PGF} Packages}, 
     \\
     \mbox{\www{http://www.ctan.org/tex-archive/graphics/pgf/base/doc/generic/pgf/pgfmanual.pdf}}

\end{thebibliography}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Ende des Dokuments -- alles, was nach dieser Zeile steht, wird 
% von LaTeX ignoriert!
\end{document}