% Vorlage fuer Ausarbeitungen
% zum Proseminar zur Analysis
% im WS 2011/2012
%
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% Allgemeine Hinweise
% - Halten Sie den LaTeX-Code so uebersichtlich wie moeglich;
%   (La)TeX-Fehlermeldungen sind oft kryptisch -- in einem ordentlich 
%   strukturierten Quellcode lassen sich Fehler leichter finden und 
%   beseitigen
%
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% Jedes LaTeX-Dokument muss eine \documentclass-Deklaration enthalten
%   Diese sorgt fuer das allgemeine Seiten-Layout, das Aussehen der 
%   Ueberschriften etc.
\documentclass[a4paper,twoside,DIV8,10pt]{scrartcl}
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  % Einbinden weiterer Pakete
  \usepackage{german}    % fuer die deutschen Trennmuster
  % \usepackage{ngerman} % entsprechend fuer die neue Rechtschreibung
  \usepackage[latin1]{inputenc} % falls Sie Umlaute in den Quellen verwenden wollen
  \usepackage{amsmath}   % enthaelt nuetzliche Makros fuer Mathematik
  \usepackage{amsthm}    % fuer Saetze, Definitionen, Beweise, etc.
  \usepackage{amsfonts}  % spezielle AMS-Mathematik-Fonts
  \usepackage{tikz}      % fuer Graphiken
  \usepackage[headinclude]{scrpage2}  % fuer die Kopfzeilen

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  % Deklaration eigener Mathematik-Makros
  \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}   % natuerliche Zahlen
  \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}   % ganze Zahlen
  \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}   % rationale Zahlen
  \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}   % reelle Zahlen

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  % Deklaration eigener Satz-/Definitions-/Beweisumgebungen mit amsthm
  \newtheorem{satz}{Satz}[section]
  \newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
  \newtheorem{korollar}[satz]{Korollar}
  \theoremstyle{definition}
  \newtheorem{definition}[satz]{Definition}
  \newtheorem{bemerkung}[satz]{Bemerkung}
  \newtheorem{aufgabe}[satz]{Aufgabe}
  \newenvironment{beweis}%
    {\begin{proof}[Beweis]}
    {\end{proof}}
  \newtheorem{beispiel}[satz]{Beispiel}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  % Deklaration weiterer Makros
  \renewcommand{\labelitemi}{--}   % aendert die Symbole bei unnumerierten Aufzaehlungen
  \makeatletter                    % Fussnote ohne Symbol
    \def\blfootnote{\xdef\@thefnmark{}\@footnotetext}
  \renewcommand{\sectfont}{\normalfont} % aendert den Font fuer Ueberschriften

  % Seitenlayout
  \renewcommand{\headfont}{\sffamily}  % sans serif Kopfzeilen
  \renewcommand{\pnumfont}{\sffamily}  % sans serif Seitenzahlen
  \automark[section]{section}          % bestimmt den Inhalt von \headmark
  \deftripstyle{myheadings}{\headmark}{}{\pagemark}% Kopfzeile
                           {}{}{}% Fusszeile
  \pagestyle{myheadings}               % aktiviert den neu definierten Seitenstil


  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  % Titel der Ausarbeitung
  \author{N.~Imeta (\textsf{nimeta@turbospam.org})}
  \date{42.~Mai 2011}
  \title{Gruppenoperationen%
    \blfootnote{Proseminar \glqq Ausgew\"ahlte Themen der Analysis\grqq, 
      WS~2011/2012, Universit\"at Regensburg}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Anfang des eigentlichen Dokuments
\begin{document}

  % Titel der Ausarbeitung -- Sie koennen natuerlich auch selbst etwas entwerfen!
  \maketitle

  \begin{abstract}
    \noindent
    Hier steht eine Zusammenfassung bzw.\ ein \"Uberblick des Vortrags
    -- ungef\"ahr vier bis zehn Zeilen. Man sollte kurz beschreiben,
    was das Hauptziel des Vortrags ist, und in welchen Schritten dieses
    Ziel erreicht wird.
  \end{abstract}

  \section{Der Hauptsatz \"uber Gruppenoperationen}

  Gruppenoperationen werden in den meisten Krankenh\"ausern mittlerweile
  nicht mehr empfohlen. Satz~\ref{hauptsatz} zeigt jedoch, da\ss\
  es immer noch zahlreiche Gruppenoperationen gibt.
  
  \begin{satz}[Hauptsatz \"uber Gruppenoperationen]\label{hauptsatz}
    Zu jeder Menge~$X$ und jeder Gruppe~$G$ gibt es eine
    Grupenoperation von~$G$ auf~$X$.
  \end{satz}
  \begin{beweis}
    Sei $X$ eine Menge und $G$ eine Gruppe. Dann ist
    \begin{align*}
      G \times X & \longrightarrow X \\
      (g,x)      & \longmapsto     x
    \end{align*}
    eine Operation von~$G$ auf~$X$.
  \end{beweis}

  Auf dieselbe Art und Weise lassen sich nat\"urlich auch
  Definitionen, Lemmata und Korollare etc.\ mit \LaTeX\ darstellen.

  Bei Fragen zu \LaTeX\ ist der \emph{\LaTeX\ Companion}~\cite{companion} 
  eine gro\ss e Hilfe; Sie k\"onnen Sich aber auch gerne an Clara
  L\"oh, Matthias Blank oder Simon Beier wenden.

  \section{Beispiele}

  \begin{beispiel}
    \hfil
    \begin{itemize}
      \item Hier ein Beispiel 
      \item \dots und noch eins
      \item \dots und noch eins
      \item \dots und noch eins
    \end{itemize}
  \end{beispiel}

  \begin{aufgabe}
    Vergessen Sie nicht, ein paar Aufgaben einzustreuen, an denen die
    Teilnehmer nochmal ihre Kenntnisse \"uberpr\"ufen k\"onnen.
  \end{aufgabe}

  \begin{beispiel}
    \hfil
    \begin{enumerate}
      \item Es gibt auch Beispiele, \dots
      \item \dots die numeriert sind.
    \end{enumerate}
  \end{beispiel}

  Graphiken lassen sich z.B.\ mit \emph{TikZ}~\cite{tantau} erstellen;
  Abbildung~\ref{fig:hausvomnikolaus} zeigt eine Illustration des \glqq
  Hauses vom Nikolaus\grqq, d.h.\ des Graphen~$(V,E)$ mit Knotenmenge~$V
  = \{1,\dots,5\}$ und Kantenmenge
  \begin{align*}
    E & := \bigl\{ \{1,2\}
                 , \{1,5\}
                 , \{2,3\}
                 , \{2,4\}
                 , \{2,5\}
                 , \{3,4\}
                 , \{3,5\}
                 , \{4,5\}
           \bigr\}.
  \end{align*}

  \begin{figure}
    \begin{center}
      \begin{tikzpicture}
         \begin{scope}[color=black!20]
           \draw[fill] (0,0) circle (2pt);
           \draw[fill] (1,0) circle (2pt);
           \draw[fill] (0,1) circle (2pt);
           \draw[fill] (0.5,1.5) circle (2pt);
           \draw[fill] (1,1) circle (2pt);
         \end{scope}
         \begin{scope}[color=blue]
           \draw (0.5,1.5) node[above] {$1$};
           \draw (1,1) node[right] {$2$};
           \draw (1,0) node[right] {$3$};
           \draw (0,0) node[left] {$4$};
           \draw (0,1) node[left] {$5$};
         \end{scope}
         \draw[->,rounded corners=0.1cm]
            (0,0) -- (1,0) -- (0,1) -- (1,1) -- (0,0)
         -- (0,1) -- (0.5,1.5) -- (1,1) -- (1,0.2);
      \end{tikzpicture}
    \end{center}
    \caption{Das Haus vom Nikolaus}
    \label{fig:hausvomnikolaus}
  \end{figure}

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% Literaturverzeichnis
% - Der Einfachheit halber sind hier bereits alle Quellen eingetragen, 
%   die im Seminarprogramm auftreten
% - Bitte entfernen Sie alle Quellen, die Sie nicht in Ihrem Handout 
%   zitieren
% - Umgekehrt muessen Sie natuerlich, wenn Sie weitere Literatur
%   zitieren wollen, die entsprechenden Quellen hier einfuegen; 
%   hierbei kann www.ams.org/mathscinet helfen, die noetigen 
%   Informationen zu den Quellen zu sammeln
\begin{thebibliography}{99}

  \bibitem{book}
      M.~Aigner, G.~Ziegler. \emph{Proofs from the BOOK},
      vierte Auf\-lage, Springer, 2009.

    \bibitem{beutelspacher} A.~Beutelspacher. \emph{Das ist o.B.d.A.\
        trivial!}, neunte Auflage, Vie\-weg$+$Teub\-ner, 2009.

    \bibitem{goldenerschnitt}
      A.~Beutelspacher, B.~Petri. 
      \emph{Der Goldene Schnitt},
      zweite Auf\-lage, 
      Spektrum Akademischer Verlag, 1995.

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      B.~Bollob\'as.
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      A.~Engel.
      \emph{Problem Solving Strategies}, Problem Books in Mathematics,
      Springer, 1998. 

    \bibitem{imo50}
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      \emph{50th IMO -- 50 Years of International Mathematical Olympiads},
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    \bibitem{havil}
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      \emph{Verbl\"ufft?!: Mathematische Beweise unglaublicher Ideen}, 
      Springer, 2009.

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      G.~Helmberg.
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      de~Gruyter, 2007.

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      \emph{Topologie},
      achte Auf\-lage, Springer, 2005.

    \bibitem{krantz}
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      \emph{A Guide to Topology},
       The Mathematical Association of America, 2009.

    \bibitem{companion} F.~Mittelbach, M.~Goossens, J.~Braams,
      D.~Carlisle, C.~Rowley. \emph{The \LaTeX\ Companion}, zweite
      Auflage, Addison-Wesley, 2004.

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      A.~Schmidt.
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      Springer, 2007.

    \bibitem{spivak}
      M.~Spivak. \emph{Calculus}, 
      Cambridge University Press, dritte Auf\-lage, 2006.

   \bibitem{tantau} 
        T.~Tantau. \emph{The {\normalfont Ti\textit{k}Z} and
          {\normalfont PGF} Packages}, 
        \\
        \textsf{http://www.ctan.org/tex-archive/graphics/pgf/base/doc/generic/pgf/pgfmanual.pdf} 

    \bibitem{walter}
      W.~Walter.
      \emph{Analysis~1}, siebte Auf\-lage, Springer, 2004.

    \bibitem{werner}
      D.~Werner. 
      \emph{Funktionalanalysis}, sechste Auf\-lage, Springer, 2007.

\end{thebibliography}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% von LaTeX ignoriert!
\end{document}
