Algebra, WS 2017/18

Prof. Dr. C. Löh , D. Fauser , J. Witzig

Aktuelles

Die Wiederholungsklausur ist online (s.u.).
Organisatorisches zur Wiederholungsklausur:
- Raumaufteilung: H32: A -- Z.
- Klausureinsicht: Donnerstag, 05.04.2018, 13:00 (M 103).
Es besteht die Möglichkeit, Drittversuche als mündliche Prüfung abzulegen. Termine dafür sind individuell abzusprechen.
Das Skript ist aktualisiert (Version vom 09.02.2018).
Beispiel 2.2.51 korrigiert (das zweite Polynom war gar nicht primitiv)
meh-meh: Plot in Abbildung 3.10 korrigiert (tikz hatte das Polynom falsch geplottet ...)
Blatt 15 ist online (vom 09.02.2018, keine Abgabe).
Seminar: Endliche Approximation von Gruppen
Dieses Seminar ist geeignete für Studenten der Studiengänge Bachelor Mathematik (ein paar Themen auch als Proseminar), Lehramt Gymnasium, Master Mathematik.
Vorbesprechung: Montag, 05.02.2018, 11:30, M 201.
Es sind noch Plätze frei!
Das Ergebnis der Evaluation finden Sie in GRIPS.
Da der Algebra-Vorlesung im Lehramtsstudium leider der Ruf vorauseilt, schwierig/abstrakt/unbewältigbar/undschlimmeres zu sein: Falls Sie Sorge haben sollten, dass Ihnen die Algebra sehr schwer fallen wird oder der Besuch der Linearen Algebra I/II bereits einige Semester zurückliegt, sollten Sie sich in den Semesterferien bereits ein bisschen auf die Algebra vorbereiten, indem Sie einfach das Material aus Lineare Algebra I/II wiederholen. Dann können Sie nämlich auf diesen Grundlagen ohne Schwierigkeiten aufbauen und haben eine große Sorge weniger!
Die Prüfungsmodalitäten finden Sie in den organisatorischen Hinweisen zur Vorlesung.

Algebra

Die Vorlesung Algebra richtet sich an Studierende des vertieften Lehramts und des Bachelorstudiengangs Mathematik ab dem zweiten Studienjahr.

In der Vorlesung werden Gruppen, Ringe und Körper bis hin zur Galoistheorie behandelt. Wir werden dabei insbesondere auch auf die vielfältigen Anwendungen dieser algebraischen Strukturen und Techniken auf die Lösung klassischer und moderner Probleme eingehen. Viele dieser Aspekte bieten wertvolles Hintergrundwissen zu Themen, die am Gymnasium unterrichtet werden.

Literatur wird in der Vorlesung bekannt gegeben. Die Vorlesung bildet zusammen mit der Vorlesung Kommutative Algebra im SS 2018 die Grundausbildung in der Algebra im Bachelor Mathematik.

Begleitend zur Vorlesung wird es voraussichtlich ein Kurzskript zu den jeweils behandelten Themen geben.

(Kurz)Skript zur Vorlesung: pdf. Themen bisher:

Literaturhinweise
Einführung:
- Warum Algebra?
- Überblick über die Vorlesung
Gruppen
- Die Kategorie der Gruppen
  [Gruppen und Gruppenhomomorphismen, Automorphismengruppen, Untergruppen, Erzeugendensysteme, Quotientengruppen, Produkte und Erweiterungen]
- Gruppenoperationen
  [Gruppenoperationen, Zählen durch Gruppenoperationen]
- Die Struktur endlicher Gruppen
  [Endliche abelsche Gruppen, Symmetrische Gruppen, Die allgemeine Klassifikationsstrategie, Auflösbare Gruppen, Die Sylowsätze]
Ringe
- Die Kategorie der Ringe
  [Ringe und Ringhomomorphismen, Polynomringe, Quotientenkörper, Ideale und Restklassenringe]
- Die Primeigenschaft
  [Teilbarkeit, Primzahlen, Primideale und Restklassenringe, Der kleine Satz von Fermat, Faktorielle Ringe, Irreduzibilitätskriterien]
Körper
- Die Kategorie der Körper
  [Körper und Körperhomomorphismen, Die Einheitengruppe eines Körpers]
- Die Kategorie der Körpererweiterungen
  [Körpererweiterungen, Algebraische Zahlen, Algebraische Körpererweiterungen, Zerfällungskörper, Der algebraische Abschluss]
- Endliche Körper
  [Klassifikation endlicher Körper, Anwendungen endlicher Körper]
- Galoiserweiterungen
  [Normale Körpererweiterungen, Separable Körpererweiterungen, Galoiserweiterungen, Der Hauptsatz der Galoistheorie]
- Anwendungen der Galoistheorie
  [Kreisteilungskörper, Auflösbarkeit durch Radikale, Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal, (Bonus: Der Fundamentalsatz der Algebra), (Bonus: ein paar Hinweise zu Körpererweiterung)]
Anhang
- Formalisierte Algebra
- Kategorien
- Freie Gruppen
- Sylow-Zoo
- Euklidische Ringe
- Funktoren
- Übungsblätter
- Fingerübungen

Vorlesungstermine

Dienstag, 10:15--12:00 (H 31),
Freitag, 10:15--12:00 (H 31)

Zentralübung

Montag, 12:00--13:30 (H 32); Daniel Fauser und Johannes Witzig)
Beginn: in der ersten Vorlesungswoche!

Übungsgruppen

Unverbindliche Anmeldung zur Planung des Übungsbetriebs: Bitte im Juli 2017 via HIS/LSF (s. Aushang)!
Die Einteilung der Übungsgruppen erfolgt in der ersten Vorlesungswoche via GRIPS: Anmeldung bis Mittwoch, 18.10.2017, 10:00. Bitte stellen Sie sicher, dass Sie einen RZ-Account haben!
Sie können dort Ihre Präferenzen für die Übungstermine auswählen und wir werden versuchen, diese Wünsche zu erfüllen. Bitte beachten Sie jedoch, dass es sein kann, dass wir nicht alle Wünsche erfüllen können.
Beachten Sie bitte auch die wichtigen Hinweise zur Organisation des Übungsbetriebs.
Der Übungsbetrieb beginnt in der zweiten Vorlesungswoche (Besprechung von Blatt 0).
Bei Fragen zum Übungsbetrieb wenden Sie sich bitte an Daniel Fauser (daniel.fauser@ur.de, M205; ) oder Johannes Witzig (johannes.witzig@ur.de, M205).

Übungsblätter

Bitte denken Sie bei der Abgabe daran, jedes Blatt mit Ihrem Namen (und dem Namen des Übungsleiters) zu versehen!
Hinweise zur Bearbeitung von Übungsaufgaben: pdf

Blatt 0,	vom 20. Oktober 2017,	keine Abgabe,	Besprechung in den Übungen vom 23.--26. Oktober
Blatt 1,	vom 20. Oktober 2017	Abgabe bis 27. Oktober 2017,	Besprechung in den Übungen vom 30.10.--02.11.
Blatt 2,	vom 27. Oktober 2017	Abgabe bis 3. November 2017,	Besprechung in den Übungen vom 06.11.--09.11.
Blatt 3,	vom 3. November 2017	Abgabe bis 10. November 2017,	Besprechung in den Übungen vom 13.11.--16.11.
Blatt 4,	vom 10. November 2017	Abgabe bis 17. November 2017,	Besprechung in den Übungen vom 20.11.--23.11.
Blatt 5,	vom 17. November 2017	Abgabe bis 24. November 2017,	Besprechung in den Übungen vom 27.11.--30.11.
Blatt 6,	vom 24. November 2017	Abgabe bis 1. Dezember 2017,	Besprechung in den Übungen vom 04.12.--07.12.
Blatt 7,	vom 1. Dezember 2017	Abgabe bis 8. Dezember 2017,	Besprechung in den Übungen vom 11.12.--14.12.
Blatt 8,	vom 8. Dezember 2017	Abgabe bis 15. Dezember 2017,	Besprechung in den Übungen vom 18.12.--21.12.
Blatt 9,	vom 15. Dezember 2017	Abgabe bis 22. Dezember 2017,	Besprechung in den Übungen 2018
Blatt 10,	vom 22. Dezember 2017	Abgabe bis 12. Januar 2018,	Besprechung in den Übungen vom 15.01--18.01.
Blatt 11,	vom 12. Januar 2018	Abgabe bis 19. Januar 2018,	Besprechung in den Übungen vom 22.01--25.01.
Blatt 12,	vom 19. Januar 2018	Abgabe bis 26. Januar 2018,	Besprechung in den Übungen vom 29.01--32.01.
Blatt 13,	vom 26. Januar 2018	Abgabe bis 2. Februar 2018,	Besprechung in den Übungen vom 05.02--08.02.
Blatt 14,	vom 2. Februar 2018	freiwillige Abgabe bis 9. Februar 2018,
Blatt 15,	vom 9. Februar 2018	keine Abgabe

Fingerübungen

Diese Aufgaben dienen dazu, grundlegenden Begriffe, Handgriffe und Rechentechniken einzuüben. Diese Aufgaben werden nicht abgegeben bzw. korrigiert.

Blatt 0,	Wiederholung	vom 16. Oktober 2017,
Blatt 1,	(Unter)Gruppen	vom 23. Oktober 2017,
Blatt 2,	Normalteiler und Quotientengruppen	vom 30. Oktober 2017,
Blatt 3,	(Semi-direkte) Produkte	vom 6. November 2017,
Blatt 4,	Gruppenoperationen	vom 13. November 2017,
Blatt 5,	Endliche abelsche/symmetrische Gruppen	vom 20. November 2017,
Blatt 6,	Sylowsätze	vom 27. November 2017,
Blatt 7,	Ringe	vom 4. Dezember 2017
Blatt 8,	Ideale	vom 11. Dezember 2017
Blatt 9,	Primelemente	vom 18. Dezember 2017
Blatt 10,	Irreduzibilität	vom 08. Januar 2018
Blatt 11,	Körpererweiterungen	vom 15. Januar 2018
Blatt 12,	Zerfällungskörper	vom 22. Januar 2018
Blatt 13,	algebraischer Abschluss/endliche Körper	vom 22. Januar 2018
Blatt 14,	Galoistheorie	vom 5. Februar 2018

Literatur

Die Vorlesung wird sich nicht an einer einzelnen Quelle orientieren -- Sie sollten also individuell die Literatur auswählen, die am besten zu Ihnen passt. Eine Auswahl finden Sie im Skript

Voraussetzungen

Lineare Algebra I/II.

Prüfung/Leistungsnachweis

Die formalen Details werden rechtzeitig bekanntgegeben.

Die Prüfungsmodalitäten finden Sie in den organisatorischen Hinweisen zur Vorlesung.
Hinweise zur Klausurvorbereitung: pdf
Klausurtermin: Freitag, 16.02.2018 (120 Minuten).
Wiederholungsklausur: Mittwoch, 04.04.2018 (120 Minuten).
Probeklausur (vom 09.02.2018; keine Abgabe)
Bitte bedenken Sie, dass die Probeklausur nur dann eine sinnvolle Einschätzung Ihrer Fähigkeiten ermöglicht, wenn Sie die Probeklausur unter Klausurbedingungen (d.h. ohne Hilfsmittel und im vorgegebenen Zeitrahmen) bearbeiten.
Lösungsvorschläge: bitte beachten Sie, dass die meisten Aufgaben viele verschiedene Lösungen zulassen und dass dies nur eine Auswahl ist. Sie sollten diese Lösungen natürlich erst dann anschauen, wenn Sie sich ernsthaft mit der Probeklausur auseinandergesetzt haben.
Klausur (vom 16.02.2018)
Lösungsvorschläge: bitte beachten Sie, dass die meisten Aufgaben viele verschiedene Lösungen zulassen und dass dies nur eine Auswahl ist. Sie sollten diese Lösungen natürlich erst dann anschauen, wenn Sie sich ernsthaft mit der Probeklausur auseinandergesetzt haben.
Ihr Ergebnis finden Sie in GRIPS.
Klausureinsicht: Montag, 19.02.2018, 13:00 (M 009).
Wiederholungsklausur (vom 04.04.2018)
Lösungsvorschläge: bitte beachten Sie, dass die meisten Aufgaben viele verschiedene Lösungen zulassen und dass dies nur eine Auswahl ist. Sie sollten diese Lösungen natürlich erst dann anschauen, wenn Sie sich ernsthaft mit der Probeklausur auseinandergesetzt haben.
Ihr Ergebnis finden Sie in GRIPS.
Klausureinsicht: Donnerstag, 05.04.2018, 13:00 (M 103).

Letzte Änderung: 4. April 2018