Geometrie (Lehramt Gymnasium), SS 2016

Aktuelles

Die Wiederholungsklausur und die Lösungsvorschläge sind online.
Die Ergebnisse erfahren Sie am Donnerstag per GRIPS.
Die Klausureinsicht ist am Freitag, den 21. Oktober, von 9:00 bis 10:00 in M 205.
Die Wiederholungsklausur fand am Mittwoch, den 12. Oktober, von 9:00 bis 11:00 in H 37 statt.
Die Klausur und die Lösungsvorschläge sind online.
Die Ergebnisse erfahren Sie am Donnerstagvormittag per GRIPS.
Die Klausureinsicht ist am Donnerstag, den 28. Juli, 13:30, in M 201.
Alle, die nicht wussten, was ein Oktaeder ist, sollten dringend ein Modell davon basteln!
Das Skript ist aktualisiert (Version vom 21.07.2016): pdf
Voraussetzung zusammenhängend zu Korollar 1.6.17 hinzugefügt (es geht aber auch ohne, indem man im Beweis etwas sorgfältiger argumentiert).
Probeklausur vom 15. Juli (keine Abgabe).
Bitte bedenken Sie, dass die Probeklausur nur dann eine sinnvolle Einschätzung Ihrer Fähigkeiten ermöglicht, wenn Sie die Probeklausur unter Klausurbedingungen (d.h. ohne Hilfsmittel und im vorgegebenen Zeitrahmen) bearbeiten.
Lösungsvorschläge: bitte beachten Sie, dass die meisten Aufgaben viele verschiedene Lösungen zulassen und dass dies nur eine Auswahl ist.
Falls Sie nur an der Wiederholungsklausur (am 12.10.) teilnehmen wollen, aber nicht an der Klausur (am 27.07.2016), stellen Sie bitte sicher, dass Sie sich nicht zur ersten Klausur in FlexNow anmelden! (Ansonsten ist die Klausur bei Nichterscheinen am 27.07. das erste Mal nicht bestanden ...).
Bitte bedenken Sie: Falls Sie nur an der Wiederholungsklausur teilnehmen und diese nicht bestehen, ist der nächste Prüfungstermin erst im SS 2017 (bei einem anderen Dozenten und potentiell anderen Vorlesungsthemen).
Hinweise zur Klausurvorbereitung: pdf
Die Prüfungsmodalitäten finden Sie in den organisatorischen Hinweisen zur Vorlesung.
Die Evaluation der Vorlesung war am Dienstag, den 24.05., um 9:45.
Das Ergebnis finden Sie in GRIPS.

Geometrie

Die Geometrie hat sich von ihren Ursprüngen in der Landvermessung zu einem außerordentlich vielseitigen mathematischen Gebiet entwickelt. Einerseits helfen Methoden aus der Analysis, Algebra, Topologie, ... geometrische Fragestellungen zu beantworten; andererseits sind geometrische Argumente oft der Schlüssel zur Lösung von Problemen aus anderen Gebieten der Mathematik.
Dreiecke

In dieser Vorlesung werden wir verschiedene Facetten der Geometrie, ihre Bezüge zu anderen mathematischen Gebieten sowie ihre Anwendungen kennenlernen. Insbesondere werden wir uns mit Symmetrien und lokalen und globalen Krümmungsphänomenen beschäftigen.

Inhalt der Vorlesung sind:

Axiomatisierungen der Geometrie
Modelle der Geoemtrie: Kombinatorische Geometrie, metrische Geometrie, elementare riemannsche Geometrie
Lokale und globale Krümmungsbegriffe
Symmetrien
Anwendungen der Geometrie

Begleitend zur Vorlesung wird es voraussichtlich ein Kurzskript zu den jeweils behandelten Themen geben.

(Kurz)Skript zur Vorlesung: pdf. Themen bisher:

Literaturhinweise
Einführung: Was ist Geometrie?
Mini-Geometrie
- Axiomatische Geometrie
- Axiome der Mini-Geometrie
- Axiome vs. Modelle
- Symmetrie
- Der geometrische Blickwinkel
  [Ramsey-Zahlen, Das Spiel SET, Strategie via Symmetrie, Der Heiratssatz]
- Der eulersche Polyedersatz
  [Geometrische Realisierung von Graphen, Der eulersche Polyedersatz]
- Ausblick
Metrische Geometrie
- Metrische Räume
- Geodäten
- Länge von Kurven
- Kreise und Konstruierbarkeit
- Symmetrie
- Das Extremalprinzip
Euklidische Geometrie
- Normierte Räume und Skalarprodukte
  [Normierte Räume, Skalarprodukte, Orthogonalität]
- Kurven
  [analytische Grundlagen, Länge von Kurven, Krümmung von Kurven]
- Winkel
- Symmetrie
  [Winkeltreue, Die euklidische Isometriegruppe, Kongruenz, reguläre Polygone und reguläre Polyeder, Das Banach-Tarski-Paradoxon]
- Pflasterungen der euklidischen Ebene
  [reguläre Pflasterungen der Ebene, aperiodische Pflasterungen der Ebene]
Elementare riemannsche Geometrie
- Was ist riemannsche Geometrie?
  [Wozu riemannsche Geometrie?, glatte Mannigfaltigkeiten und Tangentialbündel, riemannsche Metriken, Metriken aus riemannschen Metriken]
- Konstruktion der hyperbolischen Ebene
- Länge von Kurven
- Symmetrie
  [Riemannsche Isometrien, Möbiustransformationen, Transitivität der Möbiustransformationen, Geodäten der hyperbolischen Ebene, Winkel, Die Isometriegruppe der hyperbolischen Ebene]
- Hyperbolische Dreiecke
  [Flächen, Winkel und der Satz von Gauß-Bonnet, Hyperbolische Dreiecke sind dünn]
- Vergleich mit sphärischer Geometrie
Grobe Geometrie
- Was ist grobe Geometrie?
  [Wozu grobe Geometrie?]
- Quasi-Isometrie
- Hyperbolische metrische Räume
Anhang
- Hilberts Axiomatik
- Kategorien
- Funktoren
- Elementare Analysis von Kosinus und Sinus
- Das Penrose-Puzzle
- Der rote Faden

Vorlesungstermine

Dienstag, 8:30--10:00 (H 32),
Freitag, 12:30--14:00 (H 31), (neue Anfangszeit!)

Übungen

Termine:
- Di, 10--12, H 41
- Di, 14--16, H 42
- Mi 10--12, H 42
- Do 10--12, M 104
Die Einteilung der Übungsgruppen erfolgt in der ersten Vorlesungswoche via GRIPS: Sie können sich bis Mittwoch, den 13. April 2016, um 10:00 Uhr in GRIPS für die Übungen anmelden; Sie können dort Ihre Präferenzen für die Übungstermine auswählen und wir werden versuchen, diese Wünsche zu erfüllen. Bitte beachten Sie jedoch, dass es sein kann, dass wir nicht alle Wünsche erfüllen können. Beachten Sie bitte auch die wichtigen Hinweise zur Organisation des Übungsbetriebs.
Der Übungsbetrieb beginnt in der zweiten Vorlesungswoche (Besprechung von Blatt 0).
Anmeldung für die Übungen: in der letzten Januarwoche per HIS/LSF! (Deadline: 2. Februar 2016; zur Planung des Übungsbetriebs)
Bei Fragen zum Übungsbetrieb wenden Sie sich bitte an Daniel Fauser (daniel.fauser@ur.de, M205; Sprechstunde während der Vorlesungszeit: dienstags 13:30--14:00).

Übungsblätter

Bitte denken Sie bei der Abgabe daran, jedes Blatt mit Ihrem Namen (und dem Namen des Übungsleiters) zu versehen!

Blatt 0,	vom 15. April 2016,	keine Abgabe,	Besprechung in den Übungen vom 19./20./21. April
Blatt 1,	vom 15. April 2016,	Abgabe bis 22. April,	Besprechung in den Übungen vom 26./27./28. April.
Blatt 2,	vom 22. April 2016,	Abgabe bis 29. April,	Besprechung in den Übungen vom 3./4. Mai.
Blatt 3,	vom 29. April 2016,	Abgabe bis 6. Mai	Besprechung in den Übungen vom 10./11./12. Mai.
Blatt 4,	vom 6. Mai 2016,	Abgabe bis 13. Mai	Besprechung in den Übungen vom (17.)/18./19. Mai.
Blatt 5,	vom 13. Mai 2016,	Abgabe bis 20. Mai	Besprechung in den Übungen vom 24./25./(26.) Mai.
Blatt 6,	vom 20. Mai 2016,	Abgabe bis 27. Mai	Besprechung in den Übungen vom 31. Mai/1./2. Juni
Blatt 7,	vom 27. Mai 2016,	Abgabe bis 3. Juni	Besprechung in den Übungen vom 7./8./9. Juni
Blatt 8,	vom 3. Juni 2016,	Abgabe bis 10. Juni	Besprechung in den Übungen vom 14./15./16. Juni
Blatt 9,	vom 10. Juni 2016,	Abgabe bis 17. Juni	Besprechung in den Übungen vom 21./22./23. Juni
Blatt 10,	vom 17. Juni 2016,	Abgabe bis 24. Juni	Besprechung in den Übungen vom 28./29./30. Juni
Blatt 11,	vom 24. Juni 2016,	Abgabe bis 1. Juli	Besprechung in den Übungen vom 5./6./7. Juli
Blatt 12,	vom 1. Juli 2016,	Abgabe bis 8. Juli	Besprechung in den Übungen vom 12./13./14. Juli
Blatt 13,	vom 8. Juli 2016,	freiwillige Abgabe	Lösungsvorschläge s. GRIPS
Blatt 14,	vom 15. Juli 2016,	freiwillige Abgabe
Probeklausur,	vom 15. Juli 2016,	keine Abgabe	Lösungsvorschläge
Klausur,	vom 27. Juli 2016,		Lösungsvorschläge
Wiederholungsklausur,	vom 12. Oktober 2016,		Lösungsvorschläge

Zusätzliches Übungsmaterial von Johannes Prem: pdf

Bitte bedenken Sie, dass die Probeklausur nur dann eine sinnvolle Einschätzung Ihrer Fähigkeiten ermöglicht, wenn Sie die Probeklausur unter Klausurbedingungen (d.h. ohne Hilfsmittel und im vorgegebenen Zeitrahmen) bearbeiten. Lösungsvorschläge werden am 20. Juli bereitgestellt.

Literatur

Die Vorlesung wird sich nicht an einer einzelnen Quelle orientieren -- Sie sollten also individuell die Literatur auswählen, die am besten zu Ihnen passt.

Eine Auswahl finden Sie im Skript

Voraussetzungen

Sie sollten über solide Kenntnisse in Analysis I/II, Lineare Algebra I/II und Grundkenntnisse in Gruppentheorie (wie etwa im Rahmen der linearen Algebra) verfügen.
Kenntnisse über Mannigfaltigkeiten aus Analysis IV sind nicht erforderlich (aber hilfreich).

Prüfung/Leistungsnachweis

Diese Vorlesung ist Bestandteil des Moduls MAT-LA-GyGeo (Lehramt Gymnasium, Vertiefung Geometrie).
Die Prüfungsmodalitäten finden Sie in den organisatorischen Hinweisen zur Vorlesung.
Hinweise zur Klausurvorbereitung: pdf
Bei der Klausur sind keinerlei Hilfsmittel (wie Taschenrechner, Notizen, elektronische Hilfsmittel aller Art, ...) erlaubt; ein Zirkel darf verwendet werden (ist aber nicht notwendig).
Klausurtermin: Mittwoch, 27. Juli 2016, 9:00--11:00, H37, H38; Klausureinsicht: 28. Juli, 13:30 (M 201)
Wiederholungsklausur: Mittwoch, 12. Oktober 2016, 9:00--11:00, H37

Letzte Änderung: 13. Oktober 2016