Geometrie (Lehramt Gymnasium), SS 2023

Aktuelles

Klausureinsicht für die Wiederholungsklausur: Freitag, 06.10.2023, 11:00--12:00, M 201.
25.07.2023, 6:30: Die Klausurergebnisse sind nun in GRIPS einsehbar.
24.07.2023, 22:42: Da die UR-IT-Services derzeit nicht korrekt funktionieren, ist leider nicht absehbar, wann die Klausurergebnisse in GRIPS eingetragen werden können.
Das Ergebnis der Evaluation finden Sie in GRIPS.
Blatt 13 ist online: pdf (Abgabe bis 21.07.2023, 8:00)
Freiwillige Abgabe.
Blatt 14 ist online: pdf
Wiederholungsblatt; keine Abgabe.
Lösungsvorschläge zur Probeklausur (vom 20.07.2023)
Bitte beachten Sie, dass es viele Möglichkeiten gibt, Aufgaben korrekt und vollständig zu lösen und dass dies nur eine Auswahl ist.
Probeklausur (vom 18.07.2023)
Bitte bedenken Sie, dass die Probeklausur nur dann eine sinnvolle Einschätzung Ihrer Fähigkeiten ermöglicht, wenn Sie die Probeklausur unter Klausurbedingungen (d.h. ohne Hilfsmittel und im vorgegebenen Zeitrahmen) bearbeiten. Lösungsvorschläge werden am 20. Juli bereitgestellt.
Organisatorische Hinweise zur Vorlesung: pdf
Hinweise zur Bearbeitung von Übungsaufgaben: pdf
Hinweise zur Klausurvorbereitung: pdf

Geometrie

Die Geometrie hat sich von ihren Ursprüngen in der Landvermessung zu einem außerordentlich vielseitigen mathematischen Gebiet entwickelt. Einerseits helfen Methoden aus der Analysis, Algebra, Topologie, ... geometrische Fragestellungen zu beantworten; andererseits sind geometrische Argumente oft der Schlüssel zur Lösung von Problemen aus anderen Gebieten der Mathematik.
Dreiecke

In dieser Vorlesung werden wir verschiedene Facetten der Geometrie, ihre Bezüge zu anderen mathematischen Gebieten sowie ihre Anwendungen kennenlernen. Insbesondere werden wir uns mit Symmetrien und lokalen und globalen Krümmungsphänomenen beschäftigen. Dabei werden wir auch darauf eingehen, wie diese abstrakten Formen der Geometrie wertvolles Hintergrundwissen für die Schulgeometrie liefern und somit zu einem fundierten Geometrieunterricht führen.

Inhalt der Vorlesung sind:

Axiomatisierungen der Geometrie
Modelle der Geometrie: Kombinatorische Geometrie, metrische Geometrie, elementare riemannsche Geometrie
Lokale und globale Krümmungsbegriffe
Symmetrien
Anwendungen der Geometrie

Begleitend zur Vorlesung gibt es ein Skript: pdf, pdf (ocg-frei)

Vorlesungstermine

Dienstag, 8:20--10:00 (H 32),
Freitag 8:20--10:00 (H 32)

Übungen

Es werden voraussichtlich drei Übungsgruppen stattfinden; die Details werden rechtzeitig bekanntgegeben.

Die Einteilung der Übungsgruppen erfolgt in der ersten Vorlesungswoche via GRIPS: Details/Fristen: pdf
Der Übungsbetrieb beginnt in der zweiten Vorlesungswoche (Besprechung der Aufgabenserie 0).
Die Abgabe/Rückgabe erfolgt via Grips.
Hinweise zur Bearbeitung von Übungsaufgaben: pdf

Vorlesungsskript

Skript zur Vorlesung: pdf.
ocg-freie Version des Skripts pdf
(Falls Ihr pdf-Viewer ocg nicht unterstützt oder Sie das Dokument mit allen Antworten drucken wollen; normalerweise sollten Sie aber die Version verwenden, in der die Antworten nicht alle bereits angezeigt werden. Acrobat Reader, evince, Foxit, okular (neue Versionen) haben keine Schwiergkeiten mit ocg.)
Korrektur-Tracker: hier.

Themen bisher:

Literaturhinweise
Einführung: Was ist Geometrie?
Mini-Geometrie
- Axiomatische Geometrie
- Axiome der Mini-Geometrie
- Axiome vs. Modelle
- Formalisierung und Verifikation
  [Beweisassistenten, Eine Formalisierung von Mini-Geometrie, Beweis einer offensichtlichen(?) Aussage, Beispiel-Modelle, Unabhängigkeit des Parallelenaxioms]
- Symmetrie
- Geometrische Modellierung
  [Ramsey-Zahlen, Das Spiel SET, Strategie via Symmetrie, Der Heiratssatz]
- Der eulersche Polyedersatz
  [Geometrische Realisierung von Graphen, Der eulersche Polyedersatz, Anwendungen: Färbungen und Nicht-Planarität]
Metrische Geometrie
- Metrische Räume
- Geodäten
- Länge von Kurven
- Kreise und Konstruierbarkeit
  [Kreise, Sphären, Bälle; Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal]
- Symmetrie
- Das Extremalprinzip
Euklidische Geometrie
- Normierte Räume und Skalarprodukte
  [Normierte Räume; Skalarprodukte; Orthogonalität; Orthogonalität im Dialog]
- Kurven
  [Analytische Grundlagen; Länge von Kurven; Parametrisierung nach Bogenlänge; Krümmung von Kurven]
- Winkel
  [Winkel; Winkelsumme in euklidischen Dreiecken; Flächeninhalte]
- Symmetrie
  [Winkeltreue; Die euklidische Isometriegruppe; Kongruenz; Reguläre Polygone; Reguläre Polyeder
- Pflasterungen der euklidischen Ebene
  [Reguläre Pflasterungen der euklidischen Ebene; Aperiodische Pflasterungen der euklidischen Ebene]
Elementare riemannsche Geometrie
- Was ist riemannsche Geometrie?
  [Wozu riemannsche Geometrie? Mannigfaltigkeiten und Tangentialbündel; Riemannsche Metriken; Metriken aus riemannschen Metriken]
- Konstruktion der hyperbolischen Ebene
- Länge von Kurven
- Symmetrie
  [Riemannsche Isometrien; Möbiustransformationen; Transitivität der Möbiustransformationen Geodäten der hyperbolischen Ebene, Winkel, Die Isometriegruppe der hyperbolischen Ebene]
- Hyperbolische Dreiecke
  [Flächen, Winkel und der Satz von Gauß-Bonnet; Reguläre hyperbolische Dreiecke; hyperbolische Dreiecke sind dünn]
- Vergleich mit sphärischer Geometrie
Anhang
- Der rote Faden
- Hilberts Axiomatik
- Eine viel zu kurze Einführung in Lean
- Kategorien
- Funktoren
- Elementare Analysis von Sinus und Kosinus
- Penrose-Puzzle

Übungsblätter

Hinweise zur Bearbeitung von Übungsaufgaben: pdf
Blatt 0 (keine Abgabe; Besprechung in der zweiten Vorlesungswoche)
Blatt 1 (vom 21.04.2023; Abgabe bis 28.04.2023, 8:00)
Blatt 2 (vom 28.04.2023; Abgabe bis 05.05.2023, 8:00)
minigeometry_exercise.lean
Blatt 3 (vom 05.05.2023; Abgabe bis 12.05.2023, 8:00)
Blatt 4 (vom 12.05.2023; Abgabe bis 19.05.2023, 8:00)
Blatt 5 (vom 19.05.2023; Abgabe bis 26.05.2023, 8:00)
Blatt 6 (vom 26.05.2023; Abgabe bis 02.06.2023, 8:00)
circles_exercise.tex
circlecircles_exercise.tex
Blatt 7 (vom 02.06.2023; Abgabe bis 09.06.2023, 8:00)
Blatt 8 (vom 09.06.2023; Abgabe bis 16.06.2023, 8:00)
Blatt 9 (vom 16.06.2023; Abgabe bis 23.06.2023, 8:00)
Blatt 10 (vom 23.06.2023; Abgabe bis 30.06.2023, 8:00)
caleidoscope_exercise.tex
cube_exercise.scad
Blatt 11 (vom 30.06.2023; Abgabe bis 07.07.2023, 8:00)
Blatt 12 (vom 07.07.2023; Abgabe bis 14.07.2023, 8:00)
Blatt 13 (vom 14.07.2023; Abgabe bis 21.07.2023, 8:00)
Blatt 14 (vom 21.07.2023; keine Abgabe)

Quellcode

Eine Formalisierung von Mini-Geometrie in Lean: minigeometry.lean
Gerüst für die Lean-Aufgaben von Blatt2: minigeometry_exercise.lean

Literatur

Die Vorlesung wird sich nicht an einer einzelnen Quelle orientieren -- Sie sollten also individuell die Literatur auswählen, die am besten zu Ihnen passt.

Eine Auswahl finden Sie im Skript

Voraussetzungen

Sie sollten über solide Kenntnisse in Analysis I/II, Lineare Algebra I/II und Grundkenntnisse in Gruppentheorie (wie etwa im Rahmen der linearen Algebra) verfügen.
Kenntnisse über Mannigfaltigkeiten aus Analysis IV sind nicht erforderlich.

Prüfung/Leistungsnachweis

Diese Vorlesung ist Bestandteil des Moduls MAT-LA-GyGeo (Lehramt Gymnasium, Vertiefung Geometrie).
Studien-/Prüfungsleistungen: siehe KVV
Organisatorische Hinweise zur Vorlesung: pdf
Hinweise zur Bearbeitung von Übungsaufgaben: pdf
Hinweise zur Klausurvorbereitung: pdf
Klausurtermin: 24.07.2023 (9:00--11:00).
Aa-He: H 39; Hf-Zz: H 32
Es sind keinerlei Hilfsmittel wie Taschenrechner, Computer, Bücher, Vorlesungsmitschriften, Mobiltelephone etc. gestattet; Papier wird zur Verfügung gestellt. Alle Täuschungsversuche führen zum Ausschluss von der Klausur; die Klausur wird dann als nicht bestanden gewertet!
Klausureinsicht: Di, 25.07.2023, 11:00--12:00, in M 201
Wiederholungsklausur: Donnerstag, 5. Oktober 2023, 9:00--11:00, H 31.
Probeklausur (vom 18.07.2023)
Bitte bedenken Sie, dass die Probeklausur nur dann eine sinnvolle Einschätzung Ihrer Fähigkeiten ermöglicht, wenn Sie die Probeklausur unter Klausurbedingungen (d.h. ohne Hilfsmittel und im vorgegebenen Zeitrahmen) bearbeiten. Lösungsvorschläge werden am 20. Juli bereitgestellt.
Lösungsvorschläge zur Probeklausur (vom 20.07.2023)
Bitte beachten Sie, dass es viele Möglichkeiten gibt, Aufgaben korrekt und vollständig zu lösen und dass dies nur eine Auswahl ist.
Klausur (vom 24.07.2021)
Lösungsvorschläge zur Klausur
Bitte beachten Sie, dass es viele Möglichkeiten gibt, Aufgaben korrekt und vollständig zu lösen und dass dies nur eine Auswahl ist.
Wiederholungslausur (vom 05.10.2023)
Lösungsvorschläge zur Wiederholungsklausur
Bitte beachten Sie, dass es viele Möglichkeiten gibt, Aufgaben korrekt und vollständig zu lösen und dass dies nur eine Auswahl ist.

Letzte Änderung: 05.10.2023