Algebraische Topologie II -- (Ko)Homologie, WS 2013/14

Aktuelles

Blatt 15 (freiwillige Abgabe) ist online.
Das Kurzskript ist aktualisiert (Version vom 04.03.2014; Tipfehler verbessert, Referenzen hinzugefügt).
Termine für die mündlichen Prüfungen: Dienstag, 18. Februar 2014, und Mittwoch, 5 März 2014.
Sie können sich ab Ende der Woche bei Frau Bonn (M217) in eine Liste eintragen; bitte melden Sie sich auch rechtzeitig über FlexNow an.
Seminar zur Algebraischen Topologie III: Beschränkte Kohomologie
Anmeldung in der Vorbesprechung (Dienstag, 4. Februar, 12:10, M 201) oder per email.
Die Vorlesungsevaluation war am 6.12.2013 um 11:00. Das Ergebnis finden Sie in GRIPS.
Bitte beachten Sie die organisatorischen Hinweise zur Vorlesung.
Vorkenntnisse aus Algebraische Topologie I sind nicht erforderlich! Diese Vorlesung ist daher als Einstieg in die Spezialisierung Globale Analysis und Geometrie geeignet.
Falls Sie im SS 2014 bei mir eine Bachelorarbeit in Topologie/Geometrie schreiben möchten, sollten Sie spätestens im WS 2013/14 ein Seminar aus dem Schwerpunkt Globale Analysis besuchen, z.B. das Seminar: Topologie vs Kombinatorik im WS 2013/14 (Es sind noch Plätze frei! Anmeldung per email).

Algebraische Topologie

Die algebraische Topologie studiert topologische Räume mithilfe algebraischer Invarianten. Dabei werden bestimmte Aspekte topologischer Räume in der Algebra, z.B. durch Gruppen und Gruppenhomomorphismen, modelliert. Klassische Beispiele sind die sogenannten Homotopiegruppen bzw. (Ko)Homologietheorien.

Die algebraische Topologie hat eine Vielzahl von Anwendungen, sowohl in der theoretischen als auch in der angewandten Mathematik, z.B. durch Fixpunktsätze oder (Nicht)Einbettbarkeitsresultate. So beruht etwa Nashs Beweis für die Existenz gewisser Gleichgewichte in der Spieltheorie auf einem topologischen Argument.

Inhalt der Vorlesung sind:

Was ist algebraische Topologie?
Die Eilenberg-Steenrod-Axiome
Singuläre (Ko)Homologie
Zelluläre (Ko)Homologie
Klassische Anwendungen von (Ko)Homologie

Begleitend zur Vorlesung wird es voraussichtlich ein Kurzskript zu den jeweils behandelten Themen geben.

Die Vorlesung wird im Sommersemester 2014 durch die Vorlesung Algebraische Topologie III fortgesetzt, in der insbesondere (Ko)Homologie von Mannigfaltigkeiten behandelt wird. Diese Vorlesungen benötigen keine Vorkenntnisse aus der Algebraischen Topologie I (bzw. die nötigen Vorkenntnisse werden dann entsprechend kurz wiederholt).

On request, this course can be held in English

Kurzskript zur Vorlesung: pdf. Themen bisher:

Literaturhinweise
Einführung
Was ist algebraische Topologie?
[Topologische Bausteine, Kategorien und Funktoren, Homotopie, Was ist algebraische Topologie?]
Axiomatische Homologie
[Die Eilenberg-Steenrod-Axiome, Fingerübungen, Homologie von Sphären und Einhängungen, Verkleben von Räumen -- die Mayer-Vietoris-Sequenz, Ausblick: Existenz und Eindeutigkeit von Homologietheorien]
Singuläre Homologie
[Anschauliche Skizze der Konstruktion, Konstruktion singulärer Homologie, Homotopieinvarianz von singulärer Homologie, Ausschneidung in singulärer Homologie, singuläre Homologie als gewöhnliche Homologietheorie, die l1-Halbnorm auf singulärer Homologie, Singuläre Homologie und Homotopiegruppen]
Zelluläre Homologie
[CW-Komplexe, zelluläre Homologie, Vergleich von Homologietheorien auf CW-Komplexen, Die Euler-Charakteristik, Homotopietheorie von CW-Komplexen]
Ausblick
Anhang: Grundbegriffe aus der mengentheoretischen Topologie
[Topologische Räume, stetige Abbildungen, (Weg-)Zusammenhang, Hausdorffräume, Kompaktheit]
Anhang: Homologische Algebra
[exakte Sequenzen, Kettenkomplexe und Homologie, Kettenhomotopie]

Vorlesungstermine

Dienstag, 10--12, M 104,
Freitag, 10--12, M 104.

Übung

Mittwoch, 16--18, M101.

Beachten Sie bitte den neuen Zeitpunkt der Übung!

Beachten Sie bitte auch die wichtigen Hinweise zur Organisation des Übungsbetriebs.

Bei Fragen zum Übungsbetrieb wenden Sie sich bitte an Matthias Blank (matthias.blank@mathematik.uni-regensburg.de, M205).

Übungsblätter

Bitte denken Sie bei der Abgabe daran, jedes Blatt mit Ihrem Namen zu versehen!

Blatt -1,	vom 16. Oktober 2013,	keine Abgabe,	Besprechung in der Übung vom 16. Oktober
Blatt 0,	vom 18. Oktober 2013,	keine Abgabe,	Besprechung in der Übung vom 23. Oktober
Blatt 1,	vom 18. Oktober 2013,	Abgabe bis 25. Oktober,	Besprechung in der Übung vom 30. Oktober
Blatt 2,	vom 25. Oktober 2013,	Abgabe bis 04. November(!),	Besprechung in der Übung vom 6. November
Blatt 3,	vom 1. November 2013,	Abgabe bis 08. November,	Besprechung in der Übung vom 13. November
Blatt 4,	vom 08. November 2013,	Abgabe bis 15. November,	Besprechung in der Übung vom 20. November
Blatt 5,	vom 15. November 2013,	Abgabe bis 22. November,	Besprechung in der Übung vom 27. November
Blatt 6,	vom 22. November 2013,	Abgabe bis 29. November,	Besprechung in der Übung vom 4. Dezember
Blatt 7,	vom 29. November 2013,	Abgabe bis 06. Dezember,	Besprechung in der Übung vom 11. Dezember
Blatt 8,	vom 6. Dezember 2013,	Abgabe bis 13. Dezember,	Besprechung in der Übung vom 18. Dezember
Blatt 9,	vom 13. Dezember 2013,	Abgabe bis 20. Dezember,	Besprechung in der Übung vom 8. Januar
Blatt 10,	vom 20. Dezember 2013,	Abgabe bis 10. Januar,	Besprechung in der Übung vom 15. Januar
Blatt 11,	vom 10. Januar 2014,	Abgabe bis 17. Januar,	Besprechung in der Übung vom 22. Januar
Blatt 12,	vom 17. Januar 2014,	Abgabe bis 24. Januar,	Besprechung in der Übung vom 29. Januar
Blatt 13,	vom 24. Januar 2014,	Abgabe bis 31. Januar,	Besprechung in der Übung vom 5. Februar
Blatt 14,	vom 31. Januar 2014,	freiwillige Abgabe
Blatt 15,	vom 7. Februar 2014,	freiwillige Abgabe

Literatur

Die Vorlesung wird sich nicht an einer einzelnen Quelle orientieren -- Sie sollten also individuell die Literatur auswählen, die am besten zu Ihnen passt.

Algebraische Topologie

W.F. Basener. Topology and Its Applications, Wiley, 2006.
J.F. Davis, P. Kirk. Lecture Notes in Algebraic Topology, AMS, 2001.
A. Dold. Lectures on Algebraic Topology, Springer, 1980.
A. Hatcher. Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002. Homepage des Buches
W. Lück. Algebraische Topologie: Homologie und Mannigfaltigkeiten, Vieweg, 2005.
W.S. Massey. A Basic Course in Algebraic Topology, dritte Auflage, Springer, 1997.
Hinweis: In diesem Buch wird singuläre Homologie mithilfe von Würfeln statt Simplizes definiert.
P. May. A Concise Course in Algebraic Topology, University of Chicago Press, 1999.
T. tom Dieck. Algebraic Topology, European Mathematical Society, 2008.

Mengentheoretische Topologie

K. Jänich. Topologie, achte Auflage, Springer, 2008.
J.L. Kelley. General Topology, Springer, 1975.
J.R. Munkres. Topology, zweite Auflage, Pearson, 2003.
L.A. Steen. Counterexamples in Topology, Dover, 1995.

Homologische Algebra

C. Weibel. An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 2008.

Kategorientheorie

H. Herrlich, G.E. Strecker. Category Theory, dritte Auflage, Sigma Series in Pure Mathematics, Heldermann, 2007.
S. MacLane. Categories for the Working Mathematician, zweite Auflage, Springer, 1998.
B. Richter. Kategorientheorie mit Anwendungen in Topologie, Vorlesungsskript, WS~2010/11, Universität Hamburg, pdf

Voraussetzungen

Sie sollten über solide Kenntnisse in Analysis I/II (insbesondere grundlegende mengentheoretische Topologie, z.B. wie in der Analysis II im WS 2011/12), Lineare Algebra I/II und Grundkenntnisse in Gruppentheorie (wie etwa im Rahmen der Algebravorlesungen) verfügen.
Kenntnisse über Mannigfaltigkeiten aus Analysis IV sind nicht erforderlich (aber hilfreich).
Kenntnisse aus Algebraische Topologie I sind nicht erforderlich!

Prüfung/Leistungsnachweis

Die Prüfungsmodalitäten finden Sie in den organisatorischen Hinweisen zur Vorlesung.

Prüfungstermine:

Dienstag, 18.02.2014	ab 9:00
Mittwoch, 05.03.2014	ab 9:00

Letzte Änderung: 4. März 2014