Kommutative Algebra, SS 2018

Aktuelles

Die Klausureinsicht ist am Dienstag, den 17.07.2018, um 10:30 in M 101.
Das Skript ist aktualisiert (Version vom 01.10.2018).
Blatt 14 ist online (vom 13.07.2018, keine Abgabe).
Neue Fingerübungen (Blatt 13) sind online!
Diese Aufgaben sind dazu da, elementare Techniken und Begriffe zu trainieren, und die Nach-/Vorbereitung der Vorlesung zu erleichtern. Diese Aufgaben werden nicht abgegeben/korrigiert und sind nur ein freiwilliges Zusatzangebot. Im Idealfall sollten die Aufgaben so einfach sein, dass sie innerhalb weniger Minuten bearbeitet werden können.
Die Probeklausur ist online (vom 09.07.2018; keine Abgabe).
Wie immer: Bitte bedenken Sie, dass die Probeklausur nur dann eine sinnvolle Einschätzung Ihrer Fähigkeiten ermöglicht, wenn Sie die Probeklausur unter Klausurbedingungen (d.h. nur die zulässigen Hlfsmittel und im vorgegebenen Zeitrahmen) bearbeiten.
Lösungsvorschläge: bitte beachten Sie, dass die meisten Aufgaben viele verschiedene Lösungen zulassen und dass dies nur eine Auswahl ist. Sie sollten diese Lösungen natürlich erst dann anschauen, wenn Sie sich ernsthaft mit der Probeklausur auseinandergesetzt haben.
Blatt 13 ist online (vom 06.07.2018, freiwillige Abgabe bis 13.07.2018, 10:00).
Bonuspunkte!
Die Wiederholungsklausur findet am Donnerstag, den 4. Oktober 2018, statt (9:00--11:00, H31).
Hilfsmittel bei der Klausur: Es sind bei der Klausur keinerlei technische Hilfsmittel wie Taschenrechner, Mobiltelefone, Computer, Kommutative-Algebra-Hirn-Implantate, etc. zugelassen.
Es ist aber erlaubt, die Vorlage handschriftlich (DIN A4, im Original, keine Kopien!) auszufüllen und während der Klausur zu verwenden. D.h. pro Kapitel können zwei DIN A4-Seiten an Notizen vorbereitet werden.
Papier für die Klausur wird wie immer von uns gestellt.
Blatt 7 ist online (vom 25.05.52018, Abgabe bis 01.06.2018, 10:00).
Die Anmeldung zu den Übungsgruppen erfolgt in der ersten Vorlesungswoche per GRIPS Anmeldung bis Mittwoch, 11.04.2018, 10:00.
Die Prüfungsmodalitäten finden Sie in den organisatorischen Hinweisen zur Vorlesung.

Kommutative Algebra

Die Vorlesung Kommutative Algebra richtet sich an Studierende des Bachelorstudiengangs Mathematik ab dem zweiten Studienjahr und interessierte Lehramtsstudierende des vertieften Lehramts. Vorkenntnisse in Algebra sind nicht erforderlich (aber hilfreich).

In der Vorlesung Kommutative Algebra wird die Ring- und Modultheorie systematisch (weiter)entwickelt. Insbesondere werden noethersche und artinsche Ringe, Bewertungsringe, Lokalisierungen, Komplettierungen und die Krull-Dimension vorgestellt.

Außerdem werden Flachheit und Grundkonzepte der homologischen Algebra behandelt.

Diese Vorlesung bildet die Grundlage für eine weitere Vertiefung im Bereich der algebraischen Zahlentheorie, der algebraischen Geometrie und auch für manche Aspekte der algebraischen Topologie.

Begleitend zur Vorlesung wird es voraussichtlich ein Kurzskript zu den jeweils behandelten Themen geben.

(Kurz)Skript zur Vorlesung: pdf. Themen bisher:

Literaturhinweise
Einführung:
- Warum Kommutative Algebra?
- Überblick über die Vorlesung
Grundwortschatz Kategorientheorie
- Kategorien
  [Kategorien, Wiederholung: Die Kategorie der Ringe, Wiederholung: Die Kategorie der Moduln, Kommutative Diagramma]
- Funktoren
  [Funktoren, Wiederholung: Dualräume]
- Natürliche Transformationen
  [Natürliche Transformationen, Darstellbare Funktoren]
- (Ko)Limiten
  [(Ko)Limiten, Alte Bekannte, Verträglichkeit mit (Ko)Limiten]
- Beispiel: Das Tensorprodukt
  [Wiederholung: Das Tensorprodukt von Vektorräumen, Das Tensorprodukt]
Das Primspektrum
- Das Primspektrum
  [Wiederholung: Primideale und maximale Ideale, Punkte vs. Ideale, Das Primspektrum]
- Affine algebraische Geometrie
  [Der affine Raum, Die Zariski-Topologie, Affine algebraische Mengen und Radikale]
- Dimension
  [Dimension, Polynomringe in einer Variablen, Polynomringe in mehreren Variablen]
Lokalisierung
- Lokale Ringe
- Lokalisierung von Ringen und Moduln
  [Lokalisierung von Ringen, Lokalisierung von Moduln, Exaktheit]
- Lokalisierung und das Primspektrum
  [Das Primspektrum von Lokalisierungen, Lokalisierungen und Dimension, Lokale Eigenschaften]
- Vervollständigung
Noethersche und Artinsche Ringe
- Noethersche Ringe und Moduln
  [Noethersche Ringe, Moduln über noetherschen Ringen, Der Hilbertsche Basissatz]
- Der Beweis des Hilbertschen Nullstellensatzes
- Primärzerlegung
  [Primäre Ideale, Primärzerlegung in noetherschen Ringen]
- Artinsche Ringe
- Dedekindringe
  [Diskrete Bewertungsringe, Eine lokale Charakterisierung von Dedekindringen]
Elementare Homologische Algebra
- Kettenkomplexe und Homologie
  [Die Kategorie der Kettenkomplexe, Homologie von Kettenkomplexen, Fünferlemma und lange exakte Homologiesequenz]
- Projektive Auflösungen
  [Projektive Moduln, Projektive Auflösungen, Der Fundamentalsatz der homologischen Algebra]
- Tor
  [Axiomatische Beschreibung, Konstruktion, Beispiele]
Anhang
- Das Wörterbuch der affinen algebraischen Geometrie
- Die adische Topologie
- Algorithmische Kommutative Algebra
- Übungsblätter
- Fingerübungen

Vorlesungstermine

Dienstag, 10:15--12:00 (H 31),
Freitag, 10:15--12:00 (H 31)

Übungsgruppen

Unverbindliche Anmeldung zur Planung des Übungsbetriebs: Bitte im Januar 2017 via HIS/LSF (s. Aushang)!
Die Einteilung der Übungsgruppen erfolgt in der ersten Vorlesungswoche via GRIPS: Anmeldung bis Mittwoch, 11.04.2018, 10:00. Bitte stellen Sie sicher, dass Sie einen RZ-Account haben!
Sie können dort Ihre Präferenzen für die Übungstermine auswählen und wir werden versuchen, diese Wünsche zu erfüllen. Bitte beachten Sie jedoch, dass es sein kann, dass wir nicht alle Wünsche erfüllen können.
Beachten Sie bitte auch die wichtigen Hinweise zur Organisation des Übungsbetriebs.
Der Übungsbetrieb beginnt in der zweiten Vorlesungswoche (Besprechung von Blatt 0).
Bei Fragen zum Übungsbetrieb wenden Sie sich bitte an Daniel Fauser (daniel.fauser@ur.de, M205. )

Übungsblätter

Bitte denken Sie bei der Abgabe daran, jedes Blatt mit Ihrem Namen (und dem Namen des Übungsleiters) zu versehen!
Hinweise zur Bearbeitung von Übungsaufgaben: pdf

Blatt 0,	vom 13. April 2018	keine Abgabe,	Besprechung in den Übungen vom 17.04.--19.04.
Blatt 1,	vom 13. April 2018	Abgabe bis 20. April 2018	Besprechung in den Übungen vom 24.04.--26.04.
Blatt 2,	vom 20. April 2018	Abgabe bis 27. April 2018	Besprechung in den Übungen vom 02.05./03.05.
Blatt 3,	vom 27. April 2018	Abgabe bis 04. Mai 2018	Besprechung in den Übungen vom 08.05./09.05.
Blatt 4,	vom 04. Mai 2018	Abgabe bis 11. Mai 2018	Besprechung in den Übungen vom 15.05.--17.05.
Blatt 5,	vom 11. Mai 2018	Abgabe bis 18. Mai 2018	Besprechung in den Übungen vom 23.05./24.05.
Blatt 6,	vom 18. Mai 2018	Abgabe bis 25. Mai 2018	Besprechung in den Übungen vom 29.05./30.05.
Blatt 7,	vom 25. Mai 2018	Abgabe bis 1. Juni 2018	Besprechung in den Übungen vom 05.06.--07.06.
Blatt 8,	vom 1. Juni 2018	Abgabe bis 8. Juni 2018	Besprechung in den Übungen vom 12.06.--14.06.
Blatt 9,	vom 8. Juni 2018	Abgabe bis 15. Juni 2018	Besprechung in den Übungen vom 19.06.--21.06.
Blatt 10,	vom 15. Juni 2018	Abgabe bis 22. Juni 2018	Besprechung in den Übungen vom 26.06.--28.06.
Blatt 11,	vom 22. Juni 2018	Abgabe bis 29. Juni 2018	Besprechung in den Übungen vom 03.07.--05.07.
Blatt 12,	vom 29. Juni 2018	Abgabe bis 6. Juli 2018	Besprechung in den Übungen vom 10.07.--12.07.
Blatt 13,	vom 6. Juli 2018	freiwillige Abgabe bis 13. Juli 2018	keine Besprechung
Blatt 14,	vom 13. Juli 2018	keine Abgabe	keine Besprechung

Fingerübungen

Diese Aufgaben sind dazu da, elementare Techniken und Begriffe zu trainieren, und die Nach-/Vorbereitung der Vorlesung zu erleichtern. Diese Aufgaben werden nicht abgegeben/korrigiert und sind nur ein freiwilliges Zusatzangebot. Im Idealfall sollten die Aufgaben so einfach sein, dass sie innerhalb weniger Minuten bearbeitet werden können.

Blatt 0,	Kategorien, Ringe	vom 10. April 2018
Blatt 1,	Funktoren, Ideale	vom 17. April 2018
Blatt 2,	(Ko)Limiten, Tensorprodukt	vom 24. April 2018
Blatt 3,	Tensorprodukt, Zusammenfassungen	vom 1. Mai 2018
Blatt 4,	Spec, affine algebraische Mengen	vom 8. Mai 2018
Blatt 5,	Koordinatenringe und Radikale	vom 15. Mai 2018
Blatt 6,	Dimension und Wiederholung	vom 22. Mai 2018
Blatt 7,	Lokalisierung	vom 29. Mai 2018
Blatt 8,	mehr Lokalisierung	vom 5. Juni 2018
Blatt 9,	Vervollständigung, noethersche Ringe	vom 12. Juni 2018
Blatt 10,	mehr noethersche Ringe	vom 19. Juni 2018
Blatt 11,	Noether, Artin, Dedekind	vom 26. Juni 2018
Blatt 12,	Kettenkomplexe und Homologie	vom 3. Juli 2018
Blatt 13,	Projektive Auflösungen und Tor	vom 10. Juli 2018

Literatur

Die Vorlesung wird sich nicht an einer einzelnen Quelle orientieren -- Sie sollten also individuell die Literatur auswählen, die am besten zu Ihnen passt. Eine Auswahl finden Sie im Skript.

Voraussetzungen

Lineare Algebra I/II. Vorkenntnisse in Algebra sind nicht erforderlich (aber hilfreich).

Prüfung/Leistungsnachweis

Die formalen Details werden rechtzeitig bekanntgegeben.

Hilfsmittel bei der Klausur: Es sind bei der Klausur keinerlei technische Hilfsmittel wie Taschenrechner, Mobiltelefone, Computer, Kommutative-Algebra-Hirn-Implantate, etc. zugelassen.
Es ist aber erlaubt, die Vorlage handschriftlich (DIN A4, im Original, keine Kopien!) auszufüllen und während der Klausur zu verwenden. D.h. pro Kapitel können zwei DIN A4-Seiten an Notizen vorbereitet werden.
Papier für die Klausur wird wie immer von uns gestellt.
Die Prüfungsmodalitäten finden Sie in den organisatorischen Hinweisen zur Vorlesung.
Hinweise zur Klausurvorbereitung: pdf
Klausurtermin: 16.07.2018 (120 Minuten, 9:00--11:00).
Die Klausureinsicht ist am Dienstag, den 17.07.2018, um 10:30 in M 101.
Wiederholungsklausur: Donnerstag, 04.10.2018 (9:00--11:00, H 31)
Probeklausur (vom 09.07.2018; keine Abgabe).
Wie immer: Bitte bedenken Sie, dass die Probeklausur nur dann eine sinnvolle Einschätzung Ihrer Fähigkeiten ermöglicht, wenn Sie die Probeklausur unter Klausurbedingungen (d.h. nur die zulässigen Hlfsmittel und im vorgegebenen Zeitrahmen) bearbeiten.
Lösungsvorschläge: bitte beachten Sie, dass die meisten Aufgaben viele verschiedene Lösungen zulassen und dass dies nur eine Auswahl ist. Sie sollten diese Lösungen natürlich erst dann anschauen, wenn Sie sich ernsthaft mit der Probeklausur auseinandergesetzt haben.
Klausur (vom 16.07.2018).
Lösungsvorschläge: bitte beachten Sie, dass die meisten Aufgaben viele verschiedene Lösungen zulassen und dass dies nur eine Auswahl ist.
Wiederholungsklausur (vom 04.10.2018).
Lösungsvorschläge: bitte beachten Sie, dass die meisten Aufgaben viele verschiedene Lösungen zulassen und dass dies nur eine Auswahl ist.

Letzte Änderung: 4. Oktober 2018